Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit der Definitionsmenge .
Entscheiden Sie anhand des Graphen , ob die nachfolgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. (3 BE)
Die Nullstellen und die Extremstellen von sind ganzzahlig und können der Abbildung entnommen werden.
Es gilt: für
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Du brauchst Wissen über den Zusammenhang vom Graph einer Funktion und seiner Ableitung:
- Fällt in einem Intervall, so verläuft in diesem Intervall unterhalb der x-Achse.
- Umgekehrt verläuft oberhalb der x-Achse, also falls in diesem Intervall streng monoton steigt.
Du siehst in der Abbildung, dass der Graph von nur zwischen fällt und danach wieder steigt.
Folglich ist die Aussage falsch, denn für .
Wenn du die Aussage für wahr gehalten hast, hast du vielleicht und verwechselt: Die Aussage für ist nämlich wahr.
Der Graph der Stammfunktion von besitzt einen Terrassenpunkt.
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Für diese Aufgabe musst du den Zusammenhang zwischen dem Graphen einer Funktion und ihrer Stammfunktion kennen.
Hat der Graph einer Funktion eine doppelte Nullstelle, so hat seine Stammfunktion dort einen Terrassenpunkt.
Die Aussage ist folglich korrekt. Bei hat eine doppelte Nullstelle, also hat der Graph von dort eine waagerechte Tangente aber eben keine Extremstelle. Es ist also ein Terrassenpunkt.
Es gilt
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- Funktionswerte von kannst du der Abbildung direkt entnehmen.
- Funktionswerte von kannst du über die Tangenten bekommen.
Du kannst direkt aus dem Graphen ablesen, dass .
Bei hat der Graph von eine Extremstelle, deshalb gilt dort .
Insgesamt ist die Aussage also falsch, denn und somit ist der Wert nicht größer als .