Aufgabe B1
Die Parabel verläuft durch die Punkte und . Sie hat eine Gleichung der Form mit und . Die Gerade hat die Gleichung mit .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für und , dass die Parabel die Gleichung hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; ;
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Setze die Punkte und in die Parabelgleichung ein. Daraus erhältst du zwei Gleichungen, um die zwei Unbekannten und zu berechnen. Verwende dabei das Einsetzungsverfahren oder ein anderes dir bekanntes Verfahren, um das System dieser zwei Gleichungen zu lösen.
Setze den Punkt in die Gleichung der Parabel ein.
Rechne die Klammern aus.
Löse auf nach
Setze den Punkt in die Gleichung der Parabel ein.
Rechne aus.
Setze aus der ersten Gleichung ein.
Fasse zusammen.
Umformung: +6,2
Umformung: :9
Setze in die erste Gleichung ein.
Setze und in die Gleichung der Parabel ein.
Punkte auf der Parabel und Punkte
auf der Geraden haben dieselbe Abszisse . Punkte liegen auch auf der Parabel und haben eine um drei größere Abszisse als die Punkte . Zusammen mit Punkten entstehen für Trapeze
Es gilt: und .
Zeichnen Sie die Trapeze für und für in das Koordinatensystem zu 1) ein. (2 P)
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Einzeichnen der Trapezeund in das Koordinatensystem.
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt dieser Trapeze sowie den zugehörigen Wert für (4 P)
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Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:
Bestimmen des maximalen Flächeninhalts dieser Trapeze, sowie den zugehörigen Wert für x.
Siehe: Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen
Umwandeln der Funktionin die Scheitelform
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
für ist
Bestimmen des Scheitelpunktes mithilfe der Formel für den Scheitelpunkt.
Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:
Für hat das Trapez den maximalen Flächeninhalt:
Der Flächeninhalt der Trapeze und beträgt jeweils . Ermitteln Sie die zugehörigen Werte für x. (2 P)
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Setze und löse die quadratische Gleichung.
Löse die quadratische Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder der pq-Formel.
Hier erfolgt die Lösung mit der abc-Formel:
Damit folgtund
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die y-Koordinate der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: . (2 P)
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Da die Punkteauch auf der Parabel liegen, aber eine um größere Abszisse als die Punkte haben gilt:
Die Strecke im Trapez ist parallel zur x-Achse.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes. (3 P)
Zwischenergebnis:
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Im Trapezgilt:
Berechnung des Flächeninhaltes des Trapezes
eingesetzt in:
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt: