Aufgabe A3
An zwei Türmen sind auf einer Höhe von jeweils über dem Boden Plattformen angebracht. Zwischen den beiden voneinander entfernten Plattformen ist eine Brücke gespannt. Der Verlauf der Brücke zwischen den Punkten und kann näherungsweise durch eine Parabel beschrieben werden. Diese hat eine Gleichung der Form
, ;
und den Scheitelpunkt . Dabei entspricht der horizontal gemessenen Entfernung vom Punkt und der Höhe über dem Boden.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
, . (3 P)
Lösung anzeigen
Setze nacheinander die Koordinaten der drei gegebenen Punkte in die Parabelgleichung ein.
:
Setze ein.
Die Parabelgleichung lautet nun:
:
Setze ein.
Umformung: -15
:
Setze ein.
Umformung: -15
Du hast nun zwei Gleichungen erhalten:
Löse das Gleichungssystem z.B. mit dem Additionsverfahren.
Löse die erhaltene Gleichung nach auf:
Umformung: :(-30)
Setze z.B. in Gleichung ein:
Setze ein.
Umformung: +9
Umformung: :900
Damit lautet die Gleichung der Parabel
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Da der Scheitelpunkt gegeben ist (und ein weiterer Punkt) kann die Scheitelpunktform verwendet werden.
Setze ein.
Setze z.B. ein:
Setze ein.
Umformung: -12,75
Umformung: :225
Damit lautet die Gleichung der Parabel
Ausmultipliziert erhält man:
Eine Person überquert die Brücke von nach . Sie geht bereits wieder aufwärts. Bei einer Höhe von Metern über dem Boden bleibt sie stehen. Diese Position entspricht dem Punkt auf der Parabel .
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes (2 P)
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Da die Höhe über dem Boden in Metern angibt, setze in der Parabelgleichung für den Wert ein.
Setze für den Wert ein.
Umformung: -13
Umformung: \cdot 100
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Lies und ab.
und
Setze und ein.
Damit folgt und .
Da die Person bereits wieder aufwärts geht, muss sein (x-Koordinate des Scheitelpunktes).
Die x-Koordinate des Punktes lautet also .