Aufgabe B2
Punkte auf der Geraden mit der Gleichung und Punkte auf der Geraden mit der Gleichung haben dieselbe Abszisse Sie sind für zusammen mit dem Punkt und Punkten die Eckpunkte von Vierecken .
Für die Punkte gilt: und .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Geraden und sowie die Vierecke für und für in ein Koordinatensystem. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;
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Punktkoordinaten, Geraden, Koordinatenberechnung mit Urspungspunkt und Vektoraddition, Senkrechte Strecken/Vektoren (Skalarprodukt), Trägergraphen, Parallelität anhand Steigung prüfen, Lage von Punkten auf Gerade
geg.: auf und auf haben dieselbe Abszisse x
Mit und bilden sie die Vierecke
Es gilt für und
ges.: Geraden und , sowie Vierecke für und für
Für die Zeichung gilt: ; x-Achse : ; y-Achse:
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnen der Geraden und mithilfe Funktionszeichner von https://www.mathe-fa.de/de
2. Zeichnen der Vierecke:
für : und
für :
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte . (4 P)
[Ergebnis:
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Vektorberechnung, Skalarprodukt aus Drehmatrix und Strecke, Vektoraddition
geg.: Punkte , Drehung von um nach ;
Punkte liegen auf ¸Punkte auf ¸ ;
für gilt: und ;
Die Drehmatrix für eine Drehung um entgegen dem Uhrzeigersinn lautet:
ges.: Punkte
Ansatz und Rechnung:
Aus Vektorgleichung erhält man die Punkte :
1. Berechnung mit
2. Berechnung mit :
Skalarprodukt von Drehmatrix mit Strecke bilden:
sin/cos-Werte berechnen:
Skalarprodukt berechnen, ausmultiplizieren und zusammenfassen:
3. Vektoraddition :
Hinweis: Aufgrund von Rundungsfehlern oder Zwischenrundungen sind auch Ergebnisse wie möglich.
Für die Strecke gilt: . Berechnen Sie die zugehörige Belegung für
(2 P)
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Berechnung Skalarprodukt
geg.: Es gilt: , Skalarprodukt
ges.: zugehöriger x-Werte für
Ansatz und Rechnung:
gem. Aufgabe B 2.b ist die Strecke
ist senkrecht zu wenn die Multiplikation mit dem Vektor Null ergibt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung des Trägergraphen der Punkte gilt: , .
Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)
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1. Gleichungssystem für und aufstellen
2. nach auflösen
3. in einsetzen und Trägergraph berechnen
4. Trägergraph einzeichnen
geg.: Werte berechnet in Aufgabe B 2.b
ges.: Gleichung für Trägergraph
Ansatz und Rechnung:
1. Aus Gleichungssystem aufstellen:
2. nach auflösen
|
|
3. in einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen
Trägergraph q.e.d.
4. Einzeichnen des Trägergraphen der Punkte siehe Zeichnung Aufgabe B 2.a
Ermittlung der und Komponenten der Punkte und :
Werte aus Zeichnung, Werte mit
gem. Aufgabe B 2.b berechnen:
Der Punkt liegt auf der Geraden Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte und .
Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob gilt. (5 P)
Teilergebnis:
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Berechnung der Koordinaten von und ,
Prüfung der Parallelität mithilfe Steigung von und
geg.: mit
mit
ges.: Koordinate von ; Koordinate von ; Parallelität prüfen
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung Koordinate von :
Bedingung für muss gleich sein mit , wobei ist.
2. Berechnung Koordinate von :
Bedingung für muss gleich sein mit ,
wobei ist.
3. Prüfung Parallelität :
Parallelität ist gegeben, wenn Steigungen von und identisch sind.
Trägergraph berechnet in Aufgabe B 2.d:
Infolge unterschiedlicher Steigungen sind die Geraden und nicht parallel.