Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion mit einer Gleichung der Form mit und
. Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung besitzt. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;
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Berechnung des Koeffizienten der Funktion mithilfe von ;
Zeichnung des Graphen zu
geg.: ges.: Koeffizient von
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung von Koeffizient der Funktion durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt in :
mit
| Potenz in Bruch umwandeln
| Äquivalenzumformung
2. Zeichnung des Graphen zu :
Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Der Graph der Funktion wird durch orthogonale Affinität mit der –Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion die Gleichung
mit besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu B 1.a ein. Geben Sie sodann die Gleichung der Asymptote des Graphen zu an. (4 P)
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Berechnung der gestreckten Funktion , anschließend Berechnung der parallel verschobenen Funktion
geg.: Affinitätsmaßstab und Verschiebungsvektor
ges.: Abbildung von auf durch
1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der -Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) und
2. Parallelverschiebung mit dem Vektor
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion mit
| ausmultiplizieren
2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion durch Addition der gestreckten Funktion mit
einsetzen in :
| zusammenfassen
Die Gleichung der Asymptote zu ist .
3. Zeichnung des Graphen zu
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Punkte auf dem Graphen zu und Punkte
auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten und für die Eckpunkte von Rauten .
Es gilt: LE.
Zeichnen Sie die Rauten für und für mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein. (2 P)
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Ermittlung der Eckpunkte der Rauten, Einzeichnen ins Koordinatensystem
geg.: auf und auf haben dieselbe Abszisse und sind mit und für die Eckpunkte der Rauten ; die Strecke ist fest vorgegeben.
ges.: Raute für und Raute für mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem
Ansatz und Rechnung:
1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte , , und , .
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
2. Zeichnung der Raute für und Raute für mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen zu liegt. (3 P)
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Berechnung der Koordinaten des Punktes und Überprüfung ob Punkt
geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.
ges.: Koordinaten von , Prüfung ob
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Koordinaten des Punktes :
; ;
hat die Koordinate und die y-Koordinate
2. Prüfung, ob
-Koordinate in einsetzen und Werte prüfen:
| zusammenfassen
| Potenz in Bruch umwandeln
| ausmultiplizieren
liegt nicht auf
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: LE.
Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt der Rauten gilt:
FE. (3 P)
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Berechnung Länge von ; Nachweis Flächeninhalt der Raute
geg.: und
ges.: Länge von und Nachweis
Ansatz und Rechnung:
1. Länge der Strecke :
Länge von : „Spitze minus Fuß“ der Komponente :
Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:
q.e.d.
2. Flächeninhalt
mit und
Für die Raute gilt: .
Bestimmen Sie durch Rechnung die zugehörige x-Koordinate des Punktes . (3 P)
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Koordinatenberechnung mithilfe Tangens, Bild bei c)
geg.:
Gegenkathete:
Ankathete:
ges.: Tangens von
Ansatz und Rechnung:
Berechnung Koordinate von mithilfe Tangens:
| ausmultiplizieren
| zusammenfassen
| mit
| zusammenfassen
|
| zusammenfassen
| Potenz in Logarithmus umwandeln
|
hat also die -Koordinate .