Der zeitliche Verlauf der Temperatur eines in einer großen Tasse eingeschenkten Frühstückstees wird in einem Schülerexperiment untersucht. Als Grundlage wird näherungsweise die Modellfunktion T mit der Funktionsgleichung mit und verwendet. Dabei steht die Variable t für die Beobachtungszeit t in Minuten ab dem Beginn des Experiments, welches mit dem Eingießen des Tees in die Tasse zum Zeitpunkt startet. Der jeweilige Funktionswert von T gibt die Temperatur des Tees in zum Zeitpunkt t an. Der Tee in der Tasse hat zu Beginn des Experminents um 8:55 Uhr eine Temperatur von . Um 9:15 Uhr beträgt die Temperatur nur noch .
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b. Runden Sie gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle. Erläutern Sie, welche Bedeutung der Wert 22 im Funktionsterm der Funktion T für die Funktionswerte der Modellfunktion hat und bringen Sie diesen Wert in Zusammenhang mit dem durchgeführten Experiment. (5 BE)
Lösung anzeigen
- Aus den beiden Angaben zur Temperatur um 8:55 und 9:15 kannst du die Koordinaten von zwei Punkten ermitteln, die auf dem Graphen liegen.
- Setze beide Punkte in die Funktionsgleichung für t und T(t) ein.
- Löse das entstandene Gleichungssystem.
Vergiss nicht, anschließend noch die Bedeutung der Zahl 22 für den Funktionsgraphen und in der Sachsituation anzugeben. Überlege dir dafür, was für große Werte von t mit der Temperatur passiert.
Gleichungssystem aufstellen und lösen
Die Starttemperatur von ist zum Zeitpunkt :
I)
Da erhältst du direkt
Umformung: -22
Setze den gefundenen Wert für a direkt in die nächste Gleichung ein.
Um 9:15, also nach 20 Minunten, hat der Tee noch eine Temperatur von :
II)
Löse diese Gleichung nach b auf:
Umformung: -22
Umformung: :58
Verwende den ln
Umformung: :20
Bedeutung der Zahl 22
- ist die Gleichung der waagerechten Asymptote der Exponentialfunktion
- ist die Raumtemperatur, die der Tee niemals unterschreitet.
Für die folgende Teilaufgabe gilt ;
Als angenehm wird eine Trinktemperatur von empfunden. Berechnen Sie, um welche Uhrzeit diese Temperatur erreicht wird. Runden Sie die Zeitangabe auf ganze Minuten. (3 BE)
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Setze den Funktionsterm mit 54 gleich und löse die entstandene Exponentialgleichung. Anschließend musst du die Minutenangabe noch zur Startuhrzeit addieren.
Umformung: -22
Umformung: :58
Verwende den natürlichen Logarithmus ln.
Umformung: :\left(-0,1\right)
Da der Tee um 8:55 eingeschenkt wurde, ist die angenehme Trinktemperatur nach sechs Minuten Wartezeit um 9:01 Uhr erreicht.