Aufgabe B 1
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form
mit und .
Die Gerade hat die Gleichung mit
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel die Gleichung hat. Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; ;
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- Bringe die Gleichung der Parabel : in die Scheitelpunktsform mit dem Scheitelpunkt .
- Forme sie dann wieder in die allgemeine Form um.
Die Scheitelpunktsform der Parabel lautet:
berechne das Quadrat
löse die Klammer auf
fasse zusammen
Punkte auf der Geraden und Punkte auf der Parabel haben dieselbe Abszisse . Sie sind zusammen mit Punkten und Eckpunkte von Drachenvierecken mit den Symmetrieachsen und den Diagonalenschnittpunkten .
Es gilt: ; ; .
Zeichnen Sie das Drachenviereck für und das Drachenviereck für in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)
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Begründen Sie, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke ist. (1 P)
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Die Dreiecke und stimmen jeweils in der Seite überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke halb so lang wie bei den Dreiecken sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke .
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von es Drachenvierecke gibt. (3 P)
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- Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden .
- Setze dazu und berechne
Schnittpunkte der Parabel und der Geraden
Setze die Funktionsgleichungen für die Parabel und die Gerade gleich:
Löse die quadratische Gleichung z. B. mit der Mitternachtsformel.
Für gibt es Drachenvierecke
Unter den Drachenvierecken hat das Drachenviereck den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für . (4 P)
Zwischenergebnis:
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- Stelle die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks auf.
- Du erhältst eine quadratische Funktion , die den Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Wert angibt.
- Bestimme den Scheitelpunkt, um den maximalen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert zu bestimmen.
Flächeninhalt des Drachenvierecks
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lautet:
Scheitelpunkt bestimmen
Ermittle den Scheitel der Parabel z. B. mit der Formel:
Der maximale Flächeninhalt des Drachenviereck:
Der zugehörige Wert für:
Unter den Drachenvierecken gibt es zwei Drachenvierecke und , die bei bzw. rechtwinklig sind.
Begründen Sie, warum gilt.
Berechnen Sie sodann die -Koordinaten von und (3 P)
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Die Dreieckeundsind gleichschenklig-rechtwinklig.
Folglich gilt: und somit
Lösen der quadratischen Gleichung mittels der Linearfaktorzerlegung
Umformung: -8
Umformung: :(-0,5)
dividiere
zerlege in Linearfaktoren
addiere
Umformung: +2
Umformung: +4,5
addiere
Die quadratische Gleichung wurde hier mithilfe
der Linearfaktorzerlegung gelöst, du kannst selbstverständlich
die quadratische Gleichung auch mit der Mitternachtsformel oder
der p-q Formel lösen.