Für eine Zufallsgröße X ist die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit durch folgende Tabelle vollständig gegeben:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
P(X=x) | a | b-a | 0,2 | b | 0,08 | 0,02 |
Bestimmen Sie die Werte für die Parameter a und b, wenn gilt. (Teilergebnis: )(4 BE)
Lösung anzeigen
Da du zwei Variablen, a und b hast, brauchst du zwei Angaben und daraus resultierende Gleichungen, um die Aufgabe zu lösen:
- Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 1.
- Der Erwartungswert wird berechnet, indem du jeden Zufallswert (obere Zeile) mit seiner Wahrscheinlichkeit (untere Zeile) multiplizierst und diese Produkte addierst.
Löse anschließend das entstandene Gleichungssystem.
Aufstellen der Gleichungen
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse muss 1 ergeben:
I)
Außerdem weißt du, dass der Erwartungswert sein soll. Dabei wird jeder Zufallswert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte anschließend addiert:
II)
Fasse diese Gleichungen beide so weit wie möglich zusammen und du erhältst das folgende Gleichungssystem:
I)
II)
Gleichungssystem lösen
Da in der Gleichung I) nur die Variable b vorkommt, kannst du ihren Wert direkt durch Umformung ermitteln:
Umformung: :2
Setze b in die Gleichung II ein, um a zu ermitteln:
Umformung: -2,1
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Hinweis: Falls du beim Lösen andere Werte erhalten haben solltest, solltest du trotzdem mit dem Teilergebnis weiterrechnen!
Die Lieferzeiten für die Möbel des Schreiners aus Aufgabe 1 sind abhängig von verschiedenen Faktoren, wie z. B. Auftragslage und Bestellumfang. Der Schreiner hat sich über die Jahre hinweg die Lieferzeiten ab Auftragseingang notiert, um möglichst genaue Angaben zu den Lieferzeiten machen zu können.
Die aufgeführte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den unter a) bestimmten Werten für a und b beschreibt die Lieferzeit für die Möbel innerhalb der letzten Jahre. Die Zufallsgröße gibt die Lieferzeit ab Bestelldatum in vollen Wochen an. Lieferzeiten von mehr als sechs Wochen kamen bisher nicht vor.
Interpretieren Sie den Erwartungswert von im Sachzusammenhang und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
: "Die Lieferzeit beträgt höchstens vier Wochen."
: "Bei genau drei von neun Bestellungen erfolgt die Lieferung der Möbel innerhalb einer Woche."
: "Bei zehn nacheinander eingegangenen Bestellungen erfolgt nur bei der letzten die Lieferung der Möbel erst in der sechsten Woche, alle anderen erfolgen früher.
(6 BE)
Lösung anzeigen
- Ein Erwartungswert beschreibt immer einen Durschnitt. In der Situation geht es um Lieferzeiten.
- Bei kannst du alle nötigen Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle entnehmen und addieren.
- Bei handelt es sich um eine Bernoulli-Kette.
- Bei handelt es sich, aufgrund der vorgegebenen Reihenfolge, nicht um eine Bernoulli-Kette, aber du kannst weiterhin mit der Annahme von Treffern und nicht-Treffern arbeiten.
Ergebnis aus der letzten Teilaufgabe
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
P(X=x) | 0,1 | 0,25 | 0,2 | 0,35 | 0,08 | 0,02 |
Erwartungswert im Sachkontext
Der Erwartungswert beschreibt einen Durchschnittswert. Hier beschreibt er die durchschnittliche Lieferzeit von 3,12 Wochen.
Wahrscheinlichkeit von
Die Aussage "höchstens vier Wochen" sagt dir, dass die Zufallsgröße einen Wert zwischen 1 und 4 annehmen kann, also . Addiere die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:
Mit 90% Wahrscheinlichkeit ist das Möbelstück in höchstens 4 Wochen geliefert.
Wahrscheinlichkeit von
Da du hier nur fragst: "Hat es eine Woche gedauert oder länger?" handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment. Der "Treffer" ist hierbei definiert durch "Möbelstück wird in einer Woche geliefert" und hat eine Wahrscheinlichkeit von .
Insgesamt werden Möbelstücke geliefert. Genau sollen in Woche 1 geliefert werden:
Mit ungefähr 4,5% Wahrscheinlichkeit werden genau 3 von 9 Möbelstücken innerhalb von einer Woche geliefert.
Wahrscheinlichkeit von
Als "Treffer" wird hier davon ausgegangen, dass das Möbelstück erst in der 6. Woche geliefert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Möbelstück in Woche 6 geliefert wird, beträgt .
Von Möbelstücken soll nur genau das letzte Möbelstück in der 6. Woche geliefert werden. Die Position des "Treffers" ist also fest, weshalb nicht die Bernoulli-Formel verwendet wird:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,7% wird nur das letzte Möbelstück erst nach 6 Wochen geliefert.