Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus
Das Logarithmusgesetz kann mithilfe des Potenzgesetzes und die Definition des Logarithmus bzw bewiesen werden.
Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.
Für sei und .
Dann gilt ebenfalls und (1)
und somit
(2)
(3)
(4)
(5)
q.e.d.
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(1) und
Hier wurde direkt die Definition des Logarithmus angewendet, also:
und
(2)
Es wurde die Definition von den Schritten darüber eingesetzt, also aus wurde , aus wird .
(3)
Es wurde im Argument des Logarithmus das Potenzgesetz angewendet:
(4)
Da die Basis des Logarithmus und die Basis im Argument des Logarithmus übereinstimmen, kann der Logarithmus aufgelöst werden, denn , da ist. Es wird quasi gefragt "Mit was muss ich die Basis b des Logarithmus potenzieren, um zu erzeugen?" Antwort: Mit !
(5)
In Schritt 1 wurde festgelegt, dass und . Diese Festlegung wurde hier erneut verwendet und die Variablen x und y ersetzt.
Beweise das Logarithmusgesetz analog zum oberen Beweis.
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Einführen neuer Variablen
Setze und .
Durch Umformen nach der Definition des Logarithmus gilt dann auch wieder
und .
Setze alle diese Definitionen in die zu zeigende Gleichung ein:
Verwende das Potenzgesetz
(1)
Ersetze und
q.e.d
(1) Eine ausführlichere Erklärung zum vorletzten Schritt findest du in der vorherigen Teilaufgabe!
Beweise das Logarithmusrechengesetz für unter Verwendung des Logarithmusgesetzes
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Überlege dir erst mit einem kleinen Exponenten, warum das Gesetz gilt. Verallgemeinere anschließend
Am Beispiel
Für kannst du das Logarithmusgesetz durch ausschreiben der Potenz direkt nachvollziehen:
Anwendung des Logarithmusgesetzes
Verallgemeinern auf höhere Exponenten
Für höhere Exponenten kann die Potenz ebenfalls als Produkt geschrieben werden:
Jede dieser Faktoren im Produkt wird zu einem eigenen Logarithmus:
Anstatt den gleichen Summanden mehrmals zu schreiben, kann man verkürzt schreiben.
Insgesamt gilt also
Beweise das Logarithmusrechengesetz unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.
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Schreibe die Logarithmen in Potenzen um und verwende die Potenzgesetze.
Definition des Logarithmus
Nimm die -te Potenz
Potenzgesetz
Definition des Logarithmus
wieder ersetzen