Gegeben ist die Funktion mit .
Bestimme die Wendepunkte der Funktion.
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Bestimme die ersten drei Ableitungen:
(Produktregel)
Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. kann nicht null werden. Also bleibt:
Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:
Also sind und Wendestellen.
Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:
Die gesuchten Wendepunkte sind also: und .
Bestimme den Anstieg der Funktion in den Wendepunkten.
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Um den Anstieg in den Wendepunkten zu ermitteln setzt man die Wendestellen in die erste Ableitung ein:
Ermittle die Gleichung der Tangenten in den Wendepunkten.
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Die Tangenten in den Wendepunkten sind Geraden. Diese kann man allgemein mit in der Form darstellen. Aus den vorangegangenen Aufgaben kennen wir bereits die Koordinaten der Wendepunkte ( und ) und den Anstieg in den Wendepunkten ( und ). Wir müssen nun nur noch die Informationen in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen, um n zu ermitteln.
Für die Tangente in : , also . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung .
Für die Tangente in : , also . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung .
Ermittle eine weitere Tangente, die parallel zur Tangente in einem der Wendepunkte ist.
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Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt den Anstieg hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls beträgt: .
Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur die eine Lösung gibt. Es existiert also keine zweite Tangente, die parallel zur Tangente im Wendepunkt ist. (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt den Anstieg hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls beträgt: .
Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell die beiden Lösungen und . Wobei unsere Wendestelle ist. Es bleibt also als Stelle, bei der es eine Tangente parallel zur zweiten Wendetangente gibt. Für diese Stelle berechnet man zunächst den Funktionswert:
Damit haben wir den Punkt gefunden. Setzen wir nun den Anstieg, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung ein, erhalten wir eine zur Wendetangente parallele Tangente:
Also hat die gesuchte Tangente die Gleichung: .
Ermittle eine Normale, die parallel zur Tangente im Wendepunkt ist.
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Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt den Anstieg hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg der Normalen gleich ist. Da eine Normale senkrecht auf der Tangente steht, sucht man eine Stelle der Funktion, sie eine Tangente hat, die senkrecht zur Wendetangente ist.
Der Anstieg der senkrechten Tangente errechnet sich aus . Also muss . Damit muss gelten: (Die beiden Minuszeichen heben sich auf).
Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur eine Lösung gibt: . (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
Nun berechnet man für die gefundene Stelle den Funktionswert:
Damit haben wir den Punkt gefunden. Setzen wir nun den Anstieg , sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung ein, erhalten wir eine Normale, die parallel zur ersten Wendetangente ist:
Also hat die gesuchte Normale die Gleichung: .
Nun berechnen wir auf dem gleichen Weg die Normale, die parallel zur zweiten Wendetangente ist:
Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt den Anstieg hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg beträgt: .
Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es keine Lösung gibt. Die oben angegebene Normale bleibt also die einzige Normale, die parallel zu einer Wendetangente ist.