Der Baumbestand eines Waldes in kann näherungsweise durch die Funktion beschrieben werden, wobei für die Anzahl vergangener Jahre seit der ersten Messung steht.
Begründe anhand des Funktionsterms, ob der Wald wächst oder schrumpft.
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Untersuche, ob der Wachstumsfaktor größer oder kleiner als 1 ist.
Ist der Wachstumsfaktor einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt exponentielles Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor ist dabei die Basis der Exponentialfunktion der Form .
Berechne, wie groß der Wald in 10 Jahren ist.
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Da für die Zahl der vergangenen Jahre steht, setzt du 10 in die Funktionsgleichung ein.
Nach zehn Jahren ist der Wald ca. groß.
Bestimme, wann der Wald groß ist.
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Da du die Größe eines Waldes vorgegeben hast, und fragst, wann er diese Größe erreicht, musst du diesmal keinen Wert in die Funktion einsetzen, sondern den Term der Funktion mit gleichsetzen.
Umformung: :80
Logarithmieren
Nun musst du entscheiden, wie exakt du das Ergebnis angeben magst. 0,34 Jahre ist etwas mehr als eines Jahres, also 4 Monate ().
Der Wald hat nach etwas mehr als 2 Jahren und 4 Monaten Größe erreicht. Wird nur jährlich gemessen, stellt man die Größe erstmals nach 3 Jahren fest.
Bestimme, vor wie vielen Jahren der Wald halb so groß war wie jetzt.
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Erneut musst du zu einer gegebenen Waldgröße den Wert der Variable x bestimme. Setze den Funktionsterm mit gleich.
Da der Wald halb so groß sein soll, wie er jetzt ist und die der Größe des Waldes bei Beginn der Messungen entspricht, muss der Funktionsterm mit gleichgesetzt werden.
Umformung: :80
Logarithmieren
Erneut kannst du die 0,27 Jahre in Monate umrechnen:
Monate
Vor etwas weniger als 7 Jahren und 3 Monate hatte der Wald die Größe von
Bestimme, wie lange der Wald braucht, um seine Größe zu verdoppeln.
Vergleiche mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe und formuliere dazu eine Aussage zur benötigten Zeit zum Verdoppeln der Waldgröße.
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Erneut ist eine Waldgröße vorgegeben, die mit dem Funktionsterm gleichgesetzt werden soll.
Da der Wald zu Beginn der Messungen groß ist, ist ein doppelt so großer Wald groß.
Umformung: :80
Der Wald braucht ebenfalls 7 Jahre und 3 Monate, um seine Größe erneut zu verdoppeln.
Zusammenhang zwischen halber Waldgröße und doppelter Waldgröße:
Der Wald braucht immer gleich lang, um seine Größe zu verdoppeln, nämlich 7,27 Jahre.
Häufig interessiert in Sachsituationen die Halbwerts- oder Verdopplungszeit einer Größe, also die Zeit, die benötigt wird, damit sich der Wert halbiert oder verdoppelt. Im Folgenden kannst du als Verdopplungszeit 7 Jahre annehmen.
Erkläre, warum der Wachstumsprozess des Waldes mit dieser Annahme näherungsweise auch mithilfe des Terms
beschrieben werden kann.
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Beachte die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Funktionstermen:
- Warum ist die 80 gleich?
- Was bedeutet der neue Wachstumsfaktor 2?
- Warum wird im Exponenten die Variable durch 7 geteilt?
Startwert
Der Wald hat weiterhin die gleiche Ausgangsgröße von
Wachstumsfaktor 2
Statt dir das Wachstum um 10% in einem Jahr anzuschauen, fragst du jetzt, wann sich die Größe des Waldes verdoppelt hat. Deshalb benutzt du den Wachstumsfaktor 2.
Natürlich geht das nicht ohne weitere Anpassungen, deshalb wurde auch im Exponenten etwas ergänzt.
Neuer Exponent
Die 7 Jahre sind die Zeit, die der Wald benötigt, um seine Größe zu verdoppeln.
Dadurch, dass im Exponent durch 7 dividiert wird, braucht es 7 Jahre, bis der Exponent den Wert 1 annimmt und sich somit der Wald auch wirklich verdoppelt hat:
ist noch keine Verdopplung der Waldfläche.
ist die erste Verdopplung der Waldfläche.
ist die zweite Verdopplung der Waldfläche und
ist der Zeitpunkt, an dem der Wald die halbe Größe hatte.
Rechnerischer Nachweis (gerundete Werte)
Mithilfe der Potenzgesetze kannst du auch rechnerisch nachweisen, dass das Waldwachstum ungefähr durch diesen Term beschrieben werden kann:
Verwende