Beim "Fahrrad-TÜV" eines ehrenamtlichen Vereins wird untersucht, ob Licht (L), Bremsen (B) und Schaltung (S) funktionieren. Aus Erfahrung ist bekannt, dass bei 60% der Fahrräder das Licht defekt ist. Unabhängig von Licht und Schaltung sind bei 20% der Fahrräder die Bremsen nicht in Ordnung. Ebenfalls unabhängig von den beiden anderen Mängeln funktioniert die Schaltung bei 40% der Fahrräder nicht mehr einwandfrei.
Die Zufallsgröße M beschreibt die Anzahl der Mängel, die ein Fahrrad aufweisen kann.
Bestimme mithilfe eines Baumdiagramms die relativen Häufigkeiten aller möglichen Fahrradzustände.
Lösung anzeigen
- Aus der Angabe lernst du, dass die drei Eigenschaften Licht, Bremse und Schaltung betrachtet werden. Das sind die Stufen des Baums
- Da die Mängel unabhängig voneinander sind, kannst du z.B. an jeden Ast zu Bremse B die gleiche Zahl schreiben, ungeachtet vom Zustand des Lichtes L.
- Mithilfe der 1. Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten ergänzen.
Baumdiagramm zeichnen
Die drei Stufen sind Licht L, Bremse B und Schaltung S. Die Reihenfolge ist aufgrund der Unabhängigkeit der Mängel an sich egal. Hier wurde die Reihenfolge aus dem Text gewählt.
Entnehme dem Text anschließend die Wahrscheinlichkeiten:
, und
Für ein Ereignis und sein Gegenereignis gilt: , also kannst du bei jedem Knoten bereits die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses eintragen.
Abschließend verwendest du die 1. Pfadregel, um die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse zu berechnen. Für ein Fahrrad ohne Mängel erhältst du zum Beispiel:
Das fertige Baumdiagramm kann so aussehen:
Die relative Häufigkeit der Ergebnisse ist dabei durch die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Fahrrad bestimmte Mängel zeigt, rechts neben dem Baumdiagramm angegeben.
Bestimme, wie viele Mängel ein Fahrrad durchschnittlich hat.
Lösung anzeigen
- Stelle zunächst als Hilfe die Zufallsgröße M tabellarisch dar.
- Bestimme anschließend mithilfe der Formel den Erwartungswert.
Zufallsgröße M
Um den Erwartungswert zu bestimmen, musst du zunächst die Ergebnisse auf die Zufallsgröße abbilden. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Mängel.
Um dann zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für einen Mangel (M=1) zu bestimmen, addierst du die Wahrscheinlichkeiten der drei entsprechenden Ergebnisse:
Insgesamt ergibt sich für M die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
0,192 | 0,464 | 0,296 | 0,048 |
Erwartungswert berechnen
Nun kannst du mithilfe der Tabelle leicht die Formel für den Erwartungswert anwenden. Du multiplizierst den Zufallswert aus der oberen Zeile mit der Wahrscheinlichkeit in der unteren und addierst alle Produkte:
Durchschnittlich hat ein Fahrrad 1,2 Mängel.
Der Verein bietet auch Fahrradreparaturen an. Durchschnittlich nimmt er pro Fahrrad 80€ ein, wobei die Reparatur von Licht 30€ und die Reparatur der Schaltung doppelt so viel wie die Reparatur der Bremsen kostet. Theo bringt einen Totalschaden zur Werkstatt. Ermittle, wie viel die Reparatur der drei Mängel kostet.
Lösung anzeigen
- Bilde zunächst alle möglichen Mängelkombinationen auf einen Preis ab. Verwende eine Variable für die unbekannten Preise.
- Bestimme mithilfe des gegebenen Erwartungswertes die Preise für Bremse und Schaltung.
- Bestimme den teuersten Preis, indem du den soeben berechneten Wert einsetzt.
Zufallsgröße einführen
Du ordnest jeder möglichen Mangelkombination einen Term für den Reparaturpreis zu. Dadurch entsteht eine neue Zufallsgröße, zum Beispiel R für Reparaturpreis.
Dadurch, dass du den Preis von Bremse und Schaltung nicht weißt, jedoch weißt, dass die Reparatur doppelt so teuer ist wie die der Bremse, kannst du eine Variable einführen: b€ ist der Preis für die Bremsenreparatur, 2b€ für die Reparatur der Schaltung.
|
Aus dem Baumdiagramm kannst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Größe ablesen:
| ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0,192 | 0,128 | 0,048 | 0,032 | 0,288 | 0,192 | 0,072 | 0,048 |
Variable mithilfe vom Erwartungswert bestimmen
Du weißt, dass der durschnittliche Reparaturpreis beträgt. Bestimme b
mithilfe einer Gleichung, indem du die Formel für den Erwartungswert mit dem Durchschnittspreis von 80€ gleichsetzt.
Verrechne
Die Reparatur der Bremsen kostet also 62 €, folglich kostet die Reparatur der Schaltung 124 €.
Theos Preis
Da Theo alle drei Mängel beseitigen lassen muss, zahlt er