In Eulerville wurde über viele Jahre das Wetter untersucht. Es kann abgeschätzt werden, dass es im Monat April dort jeden Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% regnet.
Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Regentage im April eines Jahres.
Zum Beispiel galt im Jahr 2022 .
Ein Monat wird als statistisch regenarm bezeichnet, wenn die Zufallsgröße einen Wert links von der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert annimmt, als regenstark, wenn er rechts von einer einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt und als durchschnittlich, wenn die Anzahl der Regentage sich innerhalb einer einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert befindet.
Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße .
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- Überlege, warum es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße handelt.
- Verwende die vereinfachten Formeln für Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilten Zufallsgröße: und
Da ...
- ... die Regenwahrscheinlichkeit jeden Tag gleich bleibt,
- ... es entweder regnet oder nicht regnet und
- ... nur die Anzahl der Regentage relevant ist, nicht die genaue Position,
... handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Berechnung der Kenngrößen
Der Monat April hat 30 Tage, deshalb ist . Aus der Angabe kannst du entnehmen, dass die Regenwahrscheinlichkeit jeden Tag ist.
Der Erwartungswert ist also:
Die Varianz ist:
und die Standardabweichung wird wie gewohnt berechnet:
Erläutere, warum die minimale Anzahl der Tage, die zu einem regenstarken Monat führen, mithilfe von bestimmt werden kann.
Entscheide, ob im Jahr 2022 ein regenstarker April aufgetreten ist.
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- Erkäre mithilfe der Angabe und der Formeln für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung den Aufbau der Ungleichung.
- Verwende die Ergebnisse aus der letzten Teilaufgabe.
- Damit kannst du den Schwellenwert für regenstarke Monate berechnen.
Erklärung des Terms
In der Angabe steht, dass ein Monat als regenstark bezeichnet wird, wenn die Anzahl der Regentage größer ist als die Summe aus Mittelwert und Standardabweichung.
ist der Erwartungswert und ist die Standardabweichung der Zufallsgröße .
Betrachtung der Ungleichung
Entnehme der Angabe den Wert für April 2022
Es handelt sich um einen regenstarken Monat, da es mehr als 14 Regentage gibt.
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein April als regenarm, durchschnittlich oder regenstark beschrieben wird.
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- Verwende das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe, um den Schwellenwert für regenstarke Monate zu erhalten
- Berechne die Differenz aus Erwartungswert und Standardabweichung, um den Schwellenwert für regenschwache April-Monate zu erhalten
- Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zufallsgröße einen Wert innerhalb des entsprechenden Bereichs annimmt.
regenstarke Monate
In der letzten Teilaufgabe hast du bereits berechnet, dass .
Das bedeutet, dass ab 15 Regentagen der Monat als regenstark gilt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses und des Tafelwerks:
Da du im Tafelwerk nur bzw nachschlagen kannst, musst du das Gegenereignis verwenden.
Es werden nur ganze Tage gezählt
Schlage nach
regenschwache Monate
Zunächst musst du bestimmen, denn Werte, die kleiner sind als die Differenz aus Erwartungswert und einfacher Standardabweichung bedeuten einen regenarmen Monat.
Die größte Anzahl an Regentagen, die zu einem regenschwachen Monat führt, ist also 9.
Bestimme mithilfe des Tafelwerks:
Da es nur ganze Regentage gezählt werden, wird aus direkt
durchschnittliche Monate
Die restlichen Tage führen zu einem durchschnittlichen Monat.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit direkt über das Gegenereignis, denn jeder Monat, der nicht regenarm oder regenstark ist, ist durchschnittlich.
Ist die Anzahl der Regentage höher als der Wert einer doppelten Standardabweichung um den Erwartungswert, so besteht Hochwassergefahr.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses.
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- Bestimme
- Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Regentage diesen Wert übersteigt.
Berechne zunächst
Folglich besteht ab 18 Regentagen Hochwassergefahr.
Du kannst nicht direkt bestimmen, sondern musst über das Gegenereignis gehen, um die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk entnehmen zu können:
Mit etwas mehr als 2% Wahrscheinlichkeit kommt es zu einem Hochwasser.
Im Mai ist die Wahrscheinlichkeit für Regen durchschnittlich 28% pro Tag. Bestimme die Schwellenwerte für regenarme, durchschnittliche und regenstarke Mai-Monate sowie die Wahrscheinlichkeit für .
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- Bestimme zunächst Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
- Berechne anschließend und . Diese Zahlen legen die Schwellenwerte für regenarme, regenstarke und durchschnittliche Monate fest
Abschließend sollst du nur die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Da p=28% nicht im Tafelwerk ist, musst du die benötigten Wahrscheinlichkeiten einzeln mithilfe der Formel für bestimmen.
Kenngrößen berechnen
Verwende die Formeln für binomialverteilte Zufallsgrößen, um die Kenngrößen zu berechnen.
Schwellenwerte bestimmen
regenarmer Monat:
und , also höchstens 6 Regentage.
durchschnittlicher Monat:
und . Mit dem Ergebnis von oben also mehr als 6 und höchstens 11 Regentage
regenstarker Monat:
, also ab 12 Regentagen.
bestimmen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für 13 oder 14 Regentage, denn die Zahl der Regentage soll kleiner sein als 15 und mindestens 13.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten und wobei du die Bernoulli-Formel zur Berechnung verwenden kannst:
Insgesamt gilt:
und in die Formel einsetzen
Die Wahrscheinlickeit für mindestens 13 und weniger als 15 Regentage ist 5,4%