Überraschungseier werben bei einer ihrer Sammelaktionen damit, dass in jedem 7. Ei eine besondere Tierfigur enthalten ist.
Außerdem läuft parallel noch eine andere Aktion,die besagt, dass von den restlichen Eiern die Hälfte Fahrzeuge zum Zusammenbauen enthalten. Du kaufst dir 4 Überraschungseier. Die Zufallsgröße erfasst die Anzahl der Tierfiguren in den 4 Eiern, die Zufallsgröße die Anzahl der Fahrzeuge.
Erläutere, warum es sich bei und um binomialverteilte Zufallsgrößen handelt und gib für die oben beschriebene Situation einen Term zur Berechnung von an.
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Damit es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße handelt, muss das zugehörige Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette sein. Das bedeutet:
- Es darf innerhalb einer Durchführung nur zwei mögliche Ausgänge geben
- Die Wahrscheinlichkeiten bleiben zwischen den Durchführungen gleich
- Die Position der Treffer ist nicht vorgegeben
Diese drei Eigenschaften sind für beide Zufallsgrößen erfüllt, denn:
- Für jedes Ei gilt, dass es entweder ein Tier ( bzw. ein Fahrzeug) ist, oder eben nicht
- Laut Herstellerangaben sind in jedem 7. Ei Tierfiguren (bzw. in der Eier beim Fahrzeug). Durch die große Anzahl der im Handel befindlichen Überraschungseier bleibt diese Wahrscheinlichkeit gleich.
- Da lediglich die Anzahl betrachtet wird, ist die Reihenfolge, in der die Figuren ausgepackt werden, egal.
Da du eine Binomialverteilung hast, gilt mit und die Formel
Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße T tabellarisch dar.
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Da es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße handelt, kann mithilfe der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Anzahl der Treffer berechnet werden.
Bestandteile der Bernoulli-Kette bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Bernoulliformel zu berechnen, muss man wissen, was n, p und k ist.
(Anzahl der gekauften Überraschungseier, Länge der Kette)
(Tierfigur in jedem 7. Ei, Wahrscheinlichkeit für einen "Treffer")
wird durch die verschiedenen Zufallswerte unserer Zufallsgröße T ersetzt. Es steht für die Anzahl der Tierfiguren in den 4 Eiern.
Die Zufallswerte 0, 1, 2, 3, 4 müssen nun nacheinander in die Formel
eingesetzt oder im Tafelwerk nachgeschlagen werden.
Tabelle mit Tafelwerk oder Formel ausfüllen
In die obere Zeile kommen die Zufallswerte, also die möglichen Anzahlen der Tierfiguren in den 4 Eiern. In die untere Zeile schreibst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten .
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
0,53978 | 0,35985 | 0,08996 | 0,01000 | 0,00042 |
Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung von T.
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Erwartungswert und Varianz sind bei binomialverteilten Zufallsgrößen sehr einfach mithilfe der folgenden Formeln zu berechnen:
und
Setze und in obige Formeln ein
(Bei vier Eiern bekommt man durchschnittlich eine "halbe Tierfigur")
Die Standardabweichung wird wie gewohnt berechnet:
Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung von F.
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Erwartungswert und Varianz sind bei binomialverteilten Zufallsgrößen sehr einfach mithilfe der folgenden Formeln zu berechnen:
und
Die Wahrscheinlichkeit, ein Fahrzeug zu erhalten, musst du zunächst mithilfe der Angaben bestimmen:
"...von den restlichen Eiern sind in der Hälfte Fahrzeuge zum Zusammenbauen"
Die restlichen Eier, das sind der Eier.
Die Hälfte davon ist also .
Nun kannst du erneut in die Formeln einsetzen:
und
zuletzt die Standardabweichung:
Silan kauft sich 50 Überraschungseier und beschließt: "Wenn die Anzahl meiner Enthaltenen Tierfiguren kleiner ist als die zweifache Standardabweichung um den Erwartungswert, schreibe ich der Firma. So viel Pech kann ja keiner haben."
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis und beurteile Silans Entscheidung.
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- Bestimme zunächst Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für die 50 Überraschungseier
- Anschließend kannst du mit die minimale Tierfigur bestimmen, bei der Sinan nicht an die Hersteller schreibt.
- Bestimme zuletzt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass T einen Wert links von animmt, also
Kenngrößen bestimmen
Die Zufallsgröße ist auch für Überraschungseier noch binomialverteilt mit und .
Deshalb gilt...
... für den Erwartungswert
... für die Varianz
... für die Standardabweichung
niedrigste Tierfiguren-Anzahl bestimmen
Silan möchte den Herstellern nur schreiben, wenn die Anzahl der Tierfiguren kleiner ist als , also .
Foglich muss er nur bei , oder Eiern Kontakt aufnehmen ().
Wahrscheinlichkeit P(T<2,2)
Die Wahrscheinlichkeit ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit:
Falls du nicht im Tafelwerk die kumulierte Wahrscheinlichkeit nachschlagen kannst, musst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bestimmen und addieren.
Das Ereignis hat also eine Wahrscheinlichkeit von , was schon sehr niedrig, aber nicht unmöglich ist.
Verena meint "Unabhängig von der Anzahl der gekauften Eier müsste ich immer ungefähr dreimal so viele Fahrzeuge wie Tiere erhalten."
Nehme Stellung zu dieser Aussage.
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Vergleiche die Terme zur Berechnung der Erwartungswerte
Ungeachtet der Anzahl an gekauften Überraschungseiern bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine Tierfigur und für ein Fahrzeug .
Die durchschnittliche Anzahl an Tierfiguren und Fahrzeugen wird durch den Erwartungswert ausgedrückt:
Bei gleicher Anzahl n an Überraschungseiern kann man schreiben
Die Aussage von Verena ist also korrekt