Bestimme die Wendepunkte der Funktionsschar .
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Lösung
Voraussetzung
Wendepunkte und TerrassenpunkteStrategie
Obwohl es sich um eine Funktionenschar handelt, gehst du wie gewohnt vor:
- Ableitungen bilden
- Nullstellen der zweiten Ableitung suchen (notwendiges Kriterium)
- Hinreichendes Kriterium, zum Beispiel über prüfen
- In f einsetzen, um y-Koordinate zu ermitteln
Schritte
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:
Wie stellt man diese Gleichung um?
Gleichungsumformung
Umformung: -2a^3
Umformung: :6
Umformung: :a^2
Nun haben wir einen Kandidaten für eine Wendestelle. Dieser muss aber keine Wendestelle sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt:
Da gilt, ist die dritte Ableitung ungleich Null und ist eine Wendestelle.
Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert an der Wendestelle.
Die Funktion hat also einen Wendepunkt bei .