Lösen Sie die folgenden Aufgaben.
Die nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte und . Geben Sie die Funktionsgleichung von in der Normalform an.
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Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.
Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor
setze in ein und berechne
fasse zusammen
Umformung: +5b
addiere
Umformung: -1
subtrahiere
Umformung: :5
dividiere
Setze b inein und berechne .
jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
Die Normalparabel ist nach unten geöffnet und hat denScheitelpunkt ). Geben Sie die Funktionsgleichung von in der Normalform an
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Der Scheitel der Parabel ist laut Angabe:
Die Scheitelform lautet:
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels ein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist
die Normalform ist dann:
Zeichnen Sie die Parabeln und in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.
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Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.
Der Punkt liegt auf der Normalparabel . Berechnen Sie die fehlende y-Koordinate.
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Zur Berechnung der -Koordinate setzte den Wert der -Koordinate
des Punkts in die Funktionsgleichung ein.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt auf der Parabel liegt.
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Setze die -Koordinate von D in dieFunktionsgleichung
vonein und berechne den Funktionswert.
also:
Der Punkt liegt nicht auf der Parabel, da: .
Bestimmen Sie durch Rechnung den Scheitelpunkt der Parabel .
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Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:
klammere (-) aus
quadratische Ergänzung
Vorzeichen beachten
zusammenfassen
Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel ablesen:
Die Parabel schneidet die x-Achse in den Punkten und . Ermitteln Sie die x-Koordinaten von und rechnerisch.
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Um die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich und berechne z.B. mit der Mitternachtsformel
Schnittpunkte mit den -Koordinaten:
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit der Parabel hat.
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Lösungsstrategie:
a.) Löse die Geradengleichung nach auf
b.) Setzte
c.) Bestimme die Diskriminante der quadratischen Gleichung
Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung ist definiert durch:
An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Fürgibt es zwei, für eine und für keine Lösung.
da ist, hat die Gleichung keine Lösung, die Geradehat also
keinen Schnittpunkt mit der Parabel.