Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze den Term mit 0 gleich.
Umformung: -4a+2
Umformung: :2
Für a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.
Für gibt es eine Nullstelle
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze den Term mit 0 gleich
Umformung: +b
Umformung: :2b
Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkürzen kann, da es in Zähler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall zunächst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.
Fall : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.
Fall : Die jeweiligen Repräsentanten haben alle eine Nullstelle, nämlich .
Der konstante Wert der Nullstelle für bedeutet, dass dort der Büschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man überprüfen, indem man in die Geradenschar einsetzt:
.
Da ebenfalls unabhängig von b ist, ist gleichzeitig Büschelpunkt und Nullstelle.
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze die Funktion mit 0 gleich
Umformung: -2-c
Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
Umformung: :\left(4-c\right)
Du kannst im Zähler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
Da der Parameter im Nenner des Bruchs vorkommt, musst du eine Fallunterscheidung durchführen.
Für würde man durch 0 dividieren, was einen mathematischen Fehler liefert.
Fall : Die Repräsentanten haben eine Nullstelle für
Fall : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten ist parallel zur x-Achse. Deshalb gibt es in diesem Fall keine Nullstelle.
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze den Term mit 0 gleich
Umformung: -4
Umformung: :\left(d^2+1\right)
Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prüfen, ob der Nenner für Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.
Umformung: -1
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.
Du hättest die alternativ auch überlegen können, wie die Funktion aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb auch keine Lösungen hat.
Für alle haben die zugehörigen Repräsentanten also die Nullstelle .
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze den Term mit 0 gleich
Umformung: -m+n
Umformung: :\left(m-2n\right)
Unabhängig von der Anzahl der Parameter musst du prüfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.
Umformung: +2n
Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, für die das gilt. Zum Beispiel oder .
Die Menge der Repräsentanten, die diese Beziehung erfüllen kannst du angeben durch
Fall : Die Graphen der zugehörigen Repräsentanten sind parallel zur x-Achse, da den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.
Fall : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.
sonst: Für alle anderen Kombinationen haben die Repräsentanten jeweils eine Nullstelle bei
wobei
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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
Setze den Term mit 0 gleich
Betrachte zunächst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
Umformung: +1
Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
Umformung: :\left(k+2\right)^{2\ }
Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du untersuchen, wann dieser den Wert 0 annimmt.
Umformung: -2
Fall : Die zugehörigen Repräsentanten haben eine Nullstelle .
Fall : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten ist parallel zur x-Achse und hat somit keine Nullstelle.