Manchmal findest du in einem Term oder einer Gleichung neben der Variable (meistens x) und dem Funktionswert (meistens y) noch weitere Buchstaben, sogenannte Parameter. Sollen Lösungen in Abhängigkeit von diesem Parameter bestimmt werden, musst du manchmal eine Fallunterscheidung durchführen.
In diesem Artikel lernst du, wann eine Fallunterscheidung nötig ist und wie du bei dieser vorgehen musst.
Ausgangssituation
Meistens hast du eine Gleichung gegeben, in der ein Parameter vorkommt. Diese löst du, wie gewohnt, nach der Variablen auf. Anstelle einer Zahl hast du am Ende allerdings einen Term, in dem der Parameter vorkommt:
Fallunterscheidung bei Brüchen
Kommt der Parameter nach Lösen der Gleichung im Nenner des Bruchs vor, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:
Fallunterscheidungen für Wurzeln
Löst du die Gleichung und erhältst eine Lösung, in der eine Wurzel vorkommt, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:
Anspruchsvolleres Beispiel
Du hast für die Lösung erhalten. Erneut überlegst du dir, für welche Werte von k der Radikand größer als 0, exakt 0 und kleiner als 0 ist.
Du führt folgende Fallunterscheidung durch:
Fall : Da k von 2 abgezogen wird, ist der Radikand in diesem Fall negativ und es gibt keine Lösung.
Fall : Der Radikand hat den Wert 0 und deshalb existiert nur eine Lösung
Fall : Der Radikand ist größer als 0 und es gibt die zwei Lösungen und
Fallunterscheidung für Logarithmen
Kommt dein Parameter nach Lösen einer Gleichung im Argument eines Logarithmus vor, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:
Anspruchsvolleres Beispiel
Du hast für die Lösung erhalten.
Du betrachtest das Argument und untersuchst, wann dieses größer als 0 ist:
Umformung: +4
Diese Ungleichung ist erfüllt für und , denn .
Unterscheide die Fälle:
Fall : keine Lösung, denn das Argument ist negativ.
Fall oder : eine Lösung
Fallunterscheidung aufgrund von Veränderung an der Termstruktur
Bei manchen Termen verschwindet je nach Wahl des Parameterwertes die Variable und die Gleichung wird dadurch immer wahr oder immer falsch.
Kombinationen aus den vorgestellten Szenarien
Natürlich können die Fälle kombiniert werden. Du kannst einen Bruch unter einer Wurzel haben oder eine Logarithmus im Bruch,...
Gehe schrittweise vor und beachte alle Spezialfälle!
Parameter in Gleichungen mit anderen Lösungsmethoden
Wie zu Beginn erwähnt, muss die Gleichung nicht durch Umformungen lösbar sein. Auch in diesem Fall löst du die Gleichung zunächst mit der vorgesehenen Lösungsmethode und untersuchst dann danach, ob eine Fallunterscheidung nötig ist.