Gegeben ist die Geradenschar mit und
Gib den Term des Repräsentanten an.
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Um einen konkreten Repräsentanten zu bekommen, setze den gewünschten Wert für den Parameter ein.
Setze in die Funktionsgleichung ein:
Fasse den Term zusammen
Ermittle den Repräsentanten, der durch verläuft.
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Um einen Repräsentanten durch einen Punkt zu bestimmen, setze den Punkt in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein.
Setze P ein
Umformung: :2
Der gesuchte Repräsentant ist
Ermittle den Wert des Parameters so, dass der zugehörige Repräsentant die Nullstelle hat.
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Setze den Funktionsterm mit 0 gleich und setze die Nullstelle in die Gleichung der Funktionenschar ein.
An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
Umformung: -2
Umformung: -4
Umformung: :\left(-4\right)
hat eine Nullstelle bei
Bestimme die Nullstelle der Geradenschar in Abhängigkeit von a
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Gehe vor wie gewohnt und setze die Funktion mit 0 gleich.
Löse anschließend die Gleichung nach der Variable x auf. Du bekommst ein Ergebnis in Abhängigkeit von a.
Führe ggf. eine Fallunterscheidung durch.
Term nullsetzen
Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
Umformung: -2
Umformung: :\left(a-1\right)
Fallunterscheidung
Laut Angabe darf für den Parameter jede Zahl eingesetzt werden ()
Da die Nullstelle den Parameter im Nenner des Bruchs hat, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, denn:
Der Nenner hat den Wert 0, wenn . Man unterscheidet also die zwei Fälle und :
Die Nullstelle liegt bei , also
Es gibt keine Nullstelle, denn hat keine Lösung.
(Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Funktion ist die konstante Funktion )
Entscheide, ob es sich um eine Parallelenschar handelt. Bestimme anschließend, für welche Werte von a die zugehörigen Repräsentanten steigende bzw. fallende Geraden sind.
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Betrachte die Steigung der Geradenschar. Ist diese immer gleich?
Wann ist sie positiv, wann negativ?
Parallelenschar
Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle Repräsentanten die gleiche Steigung.
In dieser Geradenschar ist die Steigung abhängig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.
Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden
Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fällt, wenn der Wert negativ ist. Für handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.
Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:
Umformung: +1
Für ist die Steigung und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.
Für ist die Steigung positiv und die zugehörige Gerade steigt.
Für ist die Steiung negativ und die zugehörige Gerade fällt.
Untersuche, ob die Geradenschar einen Büschelpunkt hat und bestimme gegebenenfalls seine Koordinaten.
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Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes von zwei Repräsentanten und setze anschließend in den Term der Schar ein.
Erhälst du als Funktionswert einen Wert, der unabhängig vom Parameter ist, so besitzt die Gerade einen Büschelpunkt.
Schnittpunkt von zwei Repräsentanten
Suche dir zwei möglichst einfache Repräsentanten aus:
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Repräsentanten:
Umformung: -2
Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:
Der Termwert ist unabhängig vom Parameterwert a, deshalb ist der y-Achsenabschnitt B(0|2) Büschelpunkt der Geradenschar.