Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen, und einnehmen.
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Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
, und
Der Normalenvektor ist ein Vielfaches des Normalenvektors .
Dies hat zur Folge, dass die Ebenen und parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da ist.
Weiterhin gilt:
Der Normalenvektor ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:
und
Die Ebene ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.
Berechnung der beiden Schnittgeraden
Erste Schnittgerade :
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -3\cdot x_1+x_2
Setze und ein.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Umformung: :2
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Zweite Schnittgerade :
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -3\cdot x_1+x_2
Setze und ein.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Umformung: :2
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.
Warum ist das so?
Die beiden Ebenen und sind echt parallel zueinander (und nicht identisch). Deshalb müssen auch die beiden Schnittgeraden echt parallel zueinander sein.
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
