Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen , und einnehmen.
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Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
, und
Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:
, und
Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Betrachte nun die Ebenengleichungen und . Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind und , d.h. hier gilt der Faktor . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Betrachte jetzt die Ebenengleichungen und . Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind und , d.h. hier gilt der Faktor . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Für die Ebenengleichungen und gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor . Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind und , d.h. hier gilt der Faktor . Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist . Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.
Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.
Zusätzliche graphische Darstellung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
