Berechne den zu erwartenden Gewinn für gemischte Gleichgewichts-Strategien in bekannteren symmetrische spieltheoretischen Problemen.
Das Feiglingsspiel (bitte nie zu hause nachmachen)
Zwei Spieler fahren mit dem Auto (oder Fahrrad) direkt aufeinander zu. Wer in letzter Sekunde ausweicht, verliert. Wenn sie sich treffen, haben sie beide ernsthafte Problem. Wenn beide ausweichen, passiert nichts.
Eine mögliche Bi-Matrix hierzu sieht so aus:
Spieler 1 /Spieler 2 | ausweichen | Kurs halten |
|---|---|---|
ausweichen | 0 /0 | -1 /1 |
Kurs halten | 1 /-1 | -10 /-10 |
Denkanstoß
Gibt es einen Zusammenhang mit dem Freiwilligendilemma?
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Berechnen wir zunächst den zu erwartenden Gewinn der reinen Strategien, wenn der andere Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von ausweicht.
Um eine gemischte Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt.
Spieler 2 wählt also sein , sodass er in 9 von 10 Fällen ausweicht. Wenn Spieler zwei das auch macht, haben wir ein gemischtes Gleichgewicht.
Der erwartete Gewinn dieser gemischten Strategie ist:
Da das Spiel symmetrisch ist, haben beide Spieler den selben hier negativen erwarteten Gewinn. In anderen Worten: alle Spielteilnehmer verlieren im Schnitt immer, man sollte das Spiel nicht spielen.
Das Gefangenen-Dilemma
Das Gefangenen-Dilemma haben wir schon ohne Rechnungen betrachtet. Eine mögliche Bi-Matrix hierzu sieht so aus:
Spieler 1/ Spieler 2 | gestehen | lügen |
|---|---|---|
gestehen | -1/ -1 | 0/ -5 |
lügen | -5/ 0 | -2/ -2 |
Denkanstoß
Kann man das auch ohne Rechnung lösen?
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Berechnen wir zunächst den zu erwartenden Gewinn von den reinen Strategien, wenn der andere Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von lügt.
Um ein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt. Setzen wir dementsprechend den von Spieler 1 erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleich.
Moment ?! Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 lügt, soll 1,5 sein, das ist über 1 und kann somit nicht richtig sein!
Werfen wir noch einmal einen Blick in die Bi-Matrix ohne groß zu rechen.
Wenn Spieler 2 lügt, sind wir in der linken Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 lügt, dann kann er sich für auch zum Lügen entscheiden und -1 bekommen. (links oben) oder er gesteht und bekommt 0. (links unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.
Wenn Spieler 2 gesteht, sind wir in der rechten Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 gesteht, dann kann er sich für zum Lügen entscheiden und -5 bekommen. (rechts oben) oder er gesteht und bekommt -2. (rechts unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.
Beiden Fällen ist es für Spieler 1 besser zu gestehen, also ist es auch in jeder gemischten Strategie von Spieler 2 ist es besser zu gestehen.
Spieler 2 kann sein überhaupt nicht so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, welche Strategie er wählt. Unser Ansatz, die den erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleichzusetzen, ist nicht zielführend und es kommt ein komisches Ergebnis für heraus.
Mathematisch gesehen kann man sagen für alle p zwischen 0 und 1 gilt:
Es gibt also kein Gleichgewicht in gemischten Strategien.
Das 'Free Money Problem'
Ein überraschend interessantes Problem liefert folgendes Spiel:
Spieler 1/ Spieler 2 | Ja | Nein |
|---|---|---|
Ja | 1/ 1 | 0/ 0 |
Nein | 0/ 0 | 0/ 0 |
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Offensichtlich ist es für beide das beste die Strategie 'Ja' zu wählen.
Es ist ein starkes Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Ja' wählen. Denn es wäre für beide Spieler schlecht abzuweichen.
Interessanterweise haben wir auch ein schwaches Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Nein' wählen. Dann kann keiner der beiden seinen Gewinn erhöhen, wenn er (alleine) seine Strategie ändert.
Da wir (wie im Kampf der Geschlechter) zwei Nash-Gleichgewichte haben, können wir nach einer gemischten Strategie suchen.
Wenn Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von p ja sagt, ist der erwartete Gewinn von Spieler 1 für seine reinen Strategien wie folgt:
Es gibt kein , das Spieler 2 wählen könnte, damit der erwartete Gewinn der beiden Strategien gleich ist. Wenn er wählt, ist es für Spieler 1 egal welche Strategie er wählt. Aber wenn beide Spieler wählen, haben wir ein Gleichgewicht in einer reinen und nicht in einer gemischten Strategie.
Um eine gemischte Strategie zu haben, muss p zwischen 0 und 1 liegen.
Es gibt hier kein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie.