Eine Wüstenrallye gewinnt
- bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,
- bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.
Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:
Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist vom Zielort entfernt.
Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von bei einem Durchschnittsverbrauch von erreichen.
In Entfernung vom Standort führt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von bei einem Durchschnittsverbrauch von nur fahren.
Welche Route wird das Team bei der traditionellen Rallye wählen?
Lösung anzeigen
Es gewinnt im Teil A das schnellste Team, im Teil B das Team mit dem geringsten Bezinverbrauch.
A. Die traditionelle Rallye
Gegeben:
Sandstrecke:
Entfernung Startpunkt von der Karawanenstraße:
Geschwindigkeit im Wüstensand:
Geschwindigkeit auf der Straße:
Vorüberlegungen:
- Die Geschwindigkeitsformeln:
- Die Entfernung des Startpunktes von der Karawanenstraße beträgt . Dann ist der Lotfußpunkt mit .Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann:
- Fährt das Rallyeteam von über nach , dann beträgt diese Fahrzeit:
- Fährt das Rallyeteam vom Startpunkt geradlinig im Wüstensand zum Zielpunkt , dann beträgt die Fahrzeit:
Für das Rallyeteam bringt der Umweg über also keinen Gewinn. Es könnte aber einen Punkt irgendwo auf der Strecke zwischen und geben, so dass die Fahrzeit von unterboten wird.
Die Zielfunktion
Gesamtfahrzeit = Fahrzeit von nach + Fahrzeit von nach .
Berechne mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von .
Setze in ein. (Gib ohne Benennungen an).
Der Definitonsbereich für ist .
Berechne . Benutze dabei auch die Kettenregel.
Setze gleich Null.
Überprüfe mit , ob ein lokales Minimum vorliegt. Berechne dazu zunächst :
Setze dann ein.
liefert minimale Fahrzeit.
Berechne nun mit die minimale Fahrzeit.
misst die Fahrzeit in Stunden.
Ergebnis:
Das Team gewinnt die traditionelle Rallye, wenn es über den von entfernten Punkt der Karawanenstraße zum Ziel fährt. Es braucht dafür .
Die notwendige Ansteuerung des Zwischenpunktes wird das Team natürlich mit einer Navigationshilfe vornehmen.
Im nachfolgenden Applet kannst du die Gesamtfahrzeit in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt nachvollziehen.
Klicke auf den Punkt und verschiebe ihn im Intervall [0;40].
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Welche Route wird das Team bei einer alternativen Rallye wählen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?
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B. Die alternative Rallye
Gegeben:
Benzinverbrauch im Sand:
Benzinverbrauch auf der Karawanenstraße:
Die Zielfunktion
Gesamtverbrauch = Verbrauch von nach + Verbrauch von nach .
Der Definitionsbereich für ist .
Verzicht auf die Benennung der Größen im Funktionsterm. Bilde .
Setze gleich Null und löse die Gleichung.
Überprüfe mit , ob ein lokales Minimum vorliegt.
Setze ein.
liefert minimalen Verbrauch.
Berechne mit den minimalen Verbrauch.
misst den Verbrauch in Liter.
Ergebnis:
Das Team gewinnt die alternative Rallye, wenn es über den von entfernten Punkt der Karawanenstraße zum Zielpunkt fährt. Es verbraucht dabei rund Benzin.
Im nachfolgenden Applet kannst du den Gesamtbenzinverbrauch in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt nachvollziehen.
Klicke auf den Punkt und verschiebe ihn im Intervall [0;40].
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Interpretation der Ergebnisse
Geschwindigkeitsrallye
Verbrauchsrallye
Das Rallyeteam nützt bei der traditionellen Rallye (Fahrzeit .; Verbrauch ) die Karawanenstraße weit weniger als bei der alternativen (Fahrzeit rund 51 Min.; Verbrauch ).
Dies hängt damit zusammen, dass der "Geschwindigkeitsvorteil" der Straße () weniger ausgeprägt ist, als der "Verbrauchsvorteil" ().