Gegeben ist im die Ebene .
Gib eine Gerade an, die ganz in liegt.
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Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen und zu bestimmen.
Die allgemeine Geradengleichung lautet
Wenn in liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen
Also:
Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in eingesetzt werden:
Da bekannt ist, dass :
Demnach muss sein, also , denn es muss ja für alle gelten.
Da und keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus wählbar.
Alle Geraden die in liegen, haben also die Form mit a;b;d;e; aus , und nicht beide Null.
Eine Lösung ist zum Beispiel .
Gib zwei von E verschiedene Ebenen und an, die ebenfalls g enthalten.
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Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen und zu bestimmen.
Werden in der Gleichung der Geraden gewählt, erhältst du mögliche Ebenen und aus
mit aus , da sich aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.
Zum Beispiel sind und Lösungen.
Gib eine Gerade so an, dass in liegt und nicht schneidet.
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Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen und zu bestimmen.
In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene mit aus.
Damit und keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.
Für wählen wir wieder die Darstellung .
Mit und ist
.
Damit nun in liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:
Mit gilt:
.
Da in liegen soll, muss aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss sein.
Also gilt , dabei sind und frei wählbar aus
Für , die in liegt und dabei nicht schneidet, gilt demnach: