Das Bild zeigt eine Gerade und eine Parabel .
Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.
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Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte der Geraden und drei Punkte der Parabel ablesen.
Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.
Der erste Punkt führt zu . Setze nun den zweiten Punkt ein.
Umformung: :6
Der zweite Punkt führt zu . Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade:
Bestimme nun die Funktionsgleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.
Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.
Der erste Punkt führt zu .
Setze nun den zweiten Punkt ein.
Umformung: -a\cdot4^2
Umformung: :4
Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von und . Setze nun den dritten Punkt ein.
Setze die aus dem vorherigen Schritt bekannte Gleichung ein.
Berechne das Quadrat und löse die Klammer auf.
Fasse die Terme zusammen.
Umformung: -16
Umformung: :32
Errechne daraus .
Insgesamt lautet damit die Funktionsgleichung der Parabel:
Schnittpunkte berechnen
Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich.
Umformung: -x
Klammere aus.
Die rechte Seite ist genau dann , wenn einer der beiden Faktoren ist.
Die Schnittpunkte sind also an den Stellen und . Die Schnittpunkte sind also
Gib die Koordinaten eines Punktes auf der Parabel nur in Abhängigkeit von an. Zeichnet man für zwischen dem Punkt und der Geraden zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.
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Koordinaten eines Punktes auf der Parabel
Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten .
Längste Strecke
Die Länge der Strecke an der Stelle ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.
Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.
ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.
Damit liegt an der Stelle ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge