Trassierung
Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der Nähe des Punktes ein Aussichtsturm.
Von Stadtteil 1 führt eine Stichstraße 1 bis zu diesem Punkt .
Im Stadtteil 2 endet eine Stichstraße 2 im Punkt .
Zur Verbindung der beiden Stadtteile soll eine Straße von nach gebaut werden.
Die Straße 1 ist für gegeben durch: .
Die Straße 2 ist für gegeben durch: .
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Bei der vorliegenden Aufgabe werden Straßenverbindungen mithilfe ganzrationaler Funktionen dargestellt. In der Praxis werden sogenannte Klothoide als Übergangsbogen bei Kurven im Straßen – und Eisenbahnbau verwendet. Die Klothoide sind keine ganzrationalen Funktionen. Sie können aber durch ganzrationale Funktionen angenähert werden, so wie es auch in dieser Aufgabe gemacht wird.
Der Begriff des Übergangsbogens wird noch etwas genauer angegeben:
Gesucht ist eine lineare Funktion , die den Straßenverlauf zwischen den Punkten und beschreibt. An den Anschlussstellen soll kein „Versatz“ auftreten.
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Gegeben sind die Punkte und .
Linearer Ansatz für die Funktion :
Ein versatzfreier Übergang an den Punkten und ist gegeben, wenn gilt:
Setzt man in eine der beiden Gleichungen ein, so erhält man
Antwort: Die gesuchte lineare Funktion lautet:
Zeichne die Funktionen und die berechnete Funktion in ein Koordinatensystem ein.
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Graphische Darstellung der drei Funktionen .
Beschreibe den Straßenverlauf an den beiden Übergangsstellen und .
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Antwort: An den beiden Übergangsstellen und gibt es jeweils einen Knick im Straßenverlauf.
Gesucht ist nun eine quadratische Funktion zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein und keinen „Knick“ aufweisen sein.
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Gegeben sind die Funktionen und .
Quadratischer Ansatz für die Funktion :
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
- versatzfrei:
- knickfrei: Somit erhält man vier Gleichungen für 3 Unbekannte.
Aus (4) ; mit erhält man
Aus folgt :
Probe: und in die bisher nicht verwendete Gleichung
eingesetzt: ; also eine wahre Aussage.
Das Gleichungssystem ist lösbar.
Antwort: Die gesuchte Funktion lautet :
In der Scheitelpunktform lautet die gesuchte Funktion:
In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen und . So würde das Ergebnis aussehen.
Die Anschlussstellen haben keinen Knick mehr.
Die Straßenbauingenieure sind immer noch nicht zufrieden. Sie stellen an den beiden Anschlussstellen fest, dass sich die Krümmung der Funktion an der Stelle von der Krümmung der Funktion unterscheidet bzw. an der Stelle von der Krümmung der Funktion unterscheidet.
Dadurch kommt es an den Übergangsstellen zu einem sogenannten „Krümmungsruck“.
Gesucht ist nun eine Funktion 4. Grades zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein, keinen „Knick“ aufweisen und "krümmungsruckfrei"sein.
Hinweis: Ein „krümmungsruckfreier“ Übergang an einer Stelle bzw. ist möglich, wenn die Bedingungen bzw.
erfüllt sind.
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Gegeben sind die Funktionen und .
Ansatz für eine Funktion 4. Grades :
Die erste Ableitung von lautet: .
Die zweite Ableitung von lautet:
Die erste Ableitung von lautet:
Die zweite Ableitung von lautet:
Die erste Ableitung von lautet:
Die zweite Ableitung von lautet:
- versatzfrei:
- knickfrei:
- ruckfrei:
Somit erhält man sechs Gleichungen für 5 Unbekannte.
Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das mit dem TR oder dem Gauß-Algorithmus gelöst werden kann.
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Zur Vereinfachung der Rechnung werden Zeilen und Spalten vertauscht.
Dadurch ändert sich Reihenfolge der Variablen und man erhält das folgende Gleichungssystem:
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
Beachte die Reihenfolge der Variablen. An der dritten Stelle steht die Variable .
Somit folgt aus der letzten Zeile der umgewandelten Koeffizientenmatrix :
Aus der zweiten Zeile folgt:
Die Werte für und werden in die erste Zeile eingesetzt:
Man erhält
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Zur Probe muss noch die nicht verwendete Gleichung überprüft werden.
Man erhält eine wahre Aussage. Das Gleichungssystem ist also lösbar.
Antwort: Die gesuchte Funktion lautet:
In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen
und So würde das Ergebnis aussehen.
Die Verbindung der Punkte und erfolgt nicht nur knickfrei sondern auch krümmungsruckfrei.