Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der Nähe des Punktes ein Naturdenkmal.
Die Stadt möchte in zwei Bauabschnitten zunächst vom Stadtteil eine gerade Straße zum Punkt bauen. Im . Bauabschnitt soll dann eine Straßenverbindung von zum Punkt im Stadtteil gebaut werden.
Die Punkte und sollen durch eine quadratische Polynomfunktion versatzfrei und knickfrei miteinander verbunden werden.
Im Punkt endet eine Stichstraße mit der Gleichung
Planungsvorschläge des Ingenieurbüros für mögliche gerade Verbindungsstraßen vom Stadtteil bis zum Punkt .
Bei der Berechnung der „Straßenfunktionen“ sind beide Bauabschnitte zu berücksichtigen.
Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Straßen und .
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Gegeben sind die Funktion und der Punkt .
Ansatz für die lineare Funktion :
(Anmerkung: Das absolute Glied heißt hier um Verwechslungen mit der quadratischen Funktion zu vermeiden.)
Quadratischer Ansatz für die Funktion : .
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
- versatzfrei:
- knickfrei:
Somit erhält man vier Gleichungen für Unbekannte .
Das GLS kann z.B. mit einem Taschenrechner, der Gleichungssysteme mit
Unbekannten verarbeiten kann, gelöst werden, z.B. der Casio fx-991DE X.
Hier wird das Additionsverfahren verwendet.
Gleichung
Addiert man beide Gleichungen erhält man:
Setzt man in Gleichung ein
Aus Gleichung
Aus Gleichung
Mit dem Punkt und folgt:
Antwort: Die gesuchten Funktionen haben die Gleichungen
bzw. und
Zeichne die Funktionen und in ein Koordinatensystem.
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Zeige, dass die in a) berechnete Funktion an den beiden
Anschlussstellen und einen Krümmungsruck erzeugt.
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Ein „krümmungsruckfreier“ Übergang an einer Stelle bzw. ist möglich, wenn die Bedingungen bzw. erfüllt sind.
Im Punkt gilt:
also findet im Punkt ein Krümmungsruck statt.
Analog gilt für den Punkt :
also findet auch im Punkt ein Krümmungsruck statt.
Um das Kriterium der „Krümmungsruckfreiheit“ in den beiden Punkten und zu erfüllen, sucht das Ingenieurbüro eine Funktion 4. Grades zur Verbindung der beiden Punkte unter Berücksichtigung der Straßen und .
Berechne die Funktion .
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Gegeben sind die beiden Funktionen und
sowie die beiden Punkte und .
Ansatz für die Funktion :
Die erste Ableitung von lautet:
Die zweite Ableitung von lautet:
Damit ergeben sich die folgenden Gleichungen:
1. versatzfrei: 2.knickfrei:
3.ruckfrei:
Somit erhält man sechs Gleichungen für 5 Unbekannte.
Aus diesen 6 Gleichungen wähle ich die Gleichungen und aus.
Zur Vereinfachung der Rechnung werden Zeilen und Spalten vertauscht.
Dadurch ändert sich Reihenfolge der Variablen und man erhält das folgende Gleichungssystem:
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
Die Koeffizientenmatrix wird durch geeignete Umformungen so bearbeitet, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen.
Beachte die Reihenfolge der Variablen. An der fünften Stelle steht die Variable .
Somit folgt aus der letzten Zeile der umgewandelten Koeffizientenmatrix :
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Aus Gleichung folgt:
Die berechneten Werte für die Variablen und müssen noch in die nicht verwendete Gleichung eingesetzt werden.
Somit hat man eine wahre Aussage erhalten und das Gleichungssystem ist lösbar.
Anmerkung: Die Gleichungen und können auch mit einem TR gelöst werden. Mit dem Ergebnis kann aus Gleichung berechnet werden und anschließend überprüft man noch Gleichung .
Antwort: Die gesuchte Funktion lautet:
=
In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen und .
So würde das Ergebnis aussehen.
Die Verbindung der Punkte und erfolgt nicht nur knickfrei sondern auch ruckfrei. An den Verbindungsstellen und befindet sich jeweils ein Wendepunkt der Funktion .