In zwei benachbarten Städten gibt es jeweils einen Kopf- oder Sackbahnhof.
In Stadt 1 befindet sich der Bahnhof am Punkt und in der Stadt 2 am Punkt .
Zum Punkt verlaufen die Gleise gemäß einer linearen Funktion . Die Gleise zum Punkt verlaufen gemäß .
Um die Bahnverbindungen in Deutschland weiter auszubauen, möchte die Deutsche Bahn die beiden Bahnhöfe mit einem Gleis verbinden.
Zeige, dass es keine quadratische Funktion zur Verbindung der beiden Bahnhöfe gibt. Die Anschlussstellen sollen versatzfrei und knickfrei sein.
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Lösungsplan
- Gleichungssystem aufstellen
- Gleichungssystem lösen
Lösung
Gegeben sind die Funktionen ; und die Punkte .
und .
Quadratischer Ansatz für die Funktion : .
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
Die erste Ableitung von lautet: .
- versatzfrei:
- knickfrei:
Somit erhält man vier Gleichungen für Unbekannte .
Das Gleichungssystem wird mit dem Gauß- Algorithmus gelöst:
Zur einfacheren Berechnung werden die Spalten getauscht.
Die Reihenfolge der Variablen ist jetzt .
Man erhält das folgende Gleichungssystem:
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
Die Koeffizientenmatrix wird durch geeignete Umformungen so bearbeitet, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen.
Aus Gleichung folgt :
Das ist ein Widerspruch und das Gleichungssystem ist nicht lösbar.
Das Planungsbüro stellt der Projektleitung eine mögliche Gleisverbindung mit einer Funktion Grades vor. Das Ergebnis ist in Abbildung dargestellt.
Ein Mitarbeiter der Projektleitung bemängelt die fehlende „Krümmungsruckfreiheit“ an den Übergangspunkten. Er weiß aus Erfahrung, dass eine Funktion Grades nie an zwei Punkten gleichzeitig krümmungsruckfrei sein kann.
Teilaufgabe 1. Zeige allgemein, dass er Recht hat.
Teilaufgabe 2. Weise dies auch rechnerisch für die angegebene Funktion und die Punkte und nach.
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Lösung Teilaufgabe b1)
Allgemeiner Ansatz für eine Funktion . Grades:
Die erste Ableitung von lautet:
Die zweite Ableitung von lautet:
Für einen Wendepunkt muss die 2. Ableitung gleich Null sein:
Somit gibt es nur eine Wendestelle, d.h. es kann nur an einem Punkt ein krümmungsruckfreier Übergang stattfinden und nicht an zwei Punkten.
Der Mitarbeiter der Projektleitung hat Recht.
Lösung Teilaufgabe b2)
Die angegebene Funktion lautet:
Für den Punkt gilt: und
d.h. .
Für den Punkt gilt: und
d.h. .
Somit gibt es an beiden Punkten einen Krümmungsruck.
Das Planungsbüro der Bundesbahn hat nun eine Funktion Grades berechnet, die den Gleisverlauf beschreibt:
Erläutere anhand der Abbildung , dass die Krümmungsruckfreiheit im Punkt erfüllt ist.
Zeige rechnerisch, dass auch im Punkt ein krümmungsruckfreier Übergang möglich ist.
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Lösung Teilaufgabe c1)
Die Abbildung zeigt, dass die Funktion . Grades im Punkt einen Sattelpunkt hat, d.h. die zweite Ableitung der Funktion ist hier gleich Null.
Da auch ist, gilt: .
Somit besteht im Punkt Krümmungsruckfreiheit.
Lösung Teilaufgabe c2)
Die angegebene Funktion lautet:
Für den Punkt gilt:
d.h.
Im Punkt besteht ebenfalls Krümmungsruckfreiheit.