Bei einem Gewinnspiel wird nebenstehendes Glücksrad gedreht, bei dem die einzelnen Kreissektoren gleich groß sind.
Diesem Zufallsexperiment wird der Ergebnisraum zugrunde gelegt. Dabei steht H für den Hauptgewinn, K für einen Kleingewinn und N für eine Niete.
Vier Personen drehen jeweils einmal am Glücksrad.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner von ihnen eine Niete erzielt. (2 BE)
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Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse
Da jeder der acht Sektoren gleich groß ist, kann die Wahrscheinlichkeit der drei Ergebnisse und als Laplacewahrscheinlichkeit ausgedrückt werden:
also:
Wahrscheinlichkeit für 4-mal keine Niete
Da sich das Glücksrad nach dem Drehen nicht verändert, ist das Experiment vergleichbar zu einem Urnenexperiment "Ziehen mit Zurücklegen", da nacheinander gedreht wird, wird die Reihenfolge beachtet.
Deshalb kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden durch
,
wobei die Wahrscheinlichkeit dafür ist, keine Niete zu bekommen und die von den vier Personen kommt.
Die Wahrscheinlichkeit, keine Niete zu bekommen ist
Also ist
Für einen Einsatz von 2 € darf man einmal am Glücksrad drehen. Für einen Hauptgewinn erhält der Teilnehmer 7 € und für einen Kleingewinn 3 € ausbezahlt. Bei einer Niete verfällt der Einsatz.
Berechnen Sie den Erwartungswert für die Zufallsgröße X: „Auszahlung in Euro“ und interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang mit dem Einsatz. (3 BE)
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Um den Erwartungswert zu bestimmen, brauchst du für jeden möglichen Auszahlungsbetrag die Wahrscheinlichkeit. Beachte, dass du den Einsatz dabei nicht berücksichtigen sollst.
Die möglichen Auszahlungsbeträge sind 7 € (Hauptgewinn H), 3 € (Kleingewinn K) und 0 € (Niete N).
Ein Blick auf das Glücksrad verrät dir, dass es 8 Sektoren gibt, davon 1 Sektor Hauptgewinn, 3 Sektoren Kleingewinn und 4 Sektoren Niete. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten:
und
Bestimme den Erwartungswert, indem du jeden Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Produkte addierst:
Im Durchschnitt bekommt man pro Spiel 2 € ausbezahlt.
Da der Einsatz genau so hoch ist wie der erwartete Auszahlungsbetrag, ist das Spiel fair.