Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen des Koordinatensystems.
Mithilfe der Spurpunkte kann eine Gerade im Koordinatensystem gezeichnet werden.
Anzahl der Spurpunkte
- SpurpunktGerade ist parallel zu einer Koordinatenachse (und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen)
- Spurpunkte Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene)
- Spurpunkte Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen
- unendlich viele Spurpunkte Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen
Sonderfälle
- Gerade schneidet eine Koordinatenachse Spurpunkte fallen zusammen und haben gleiche Koordinaten
- Gerade geht durch den Koordinatenursprungalle 3 Spurpunkte fallen zusammen
Graphische Veranschaulichung einiger spezieller Geradenlagen
Die Gerade verläuft parallel zur -Ebene und parallel zur -Ebene und damit auch parallel zur -Achse.
Z.B. die Gerade mit der Gleichung:
Dann hat die Gerade einen Spurpunkt in der -Ebene.
Die Gerade verläuft in der -Ebene und ist parallel zur -Ebene und damit auch parallel zur -Achse.
Z.B. die Gerade mit der Gleichung:
Dann hat die Gerade einen Spurpunkt auf der -Achse bzw. in der -Ebene.
In der -Ebene gibt es unendlich viele Spurpunkte.
In der -Ebene gibt es keine Spurpunkte.
Die Gerade liegt auf einer Koordinatenachse, hier z.B. auf der -Achse.
Z.B. die Gerade mit der Gleichung:
Dann hat die Gerade einen Spurpunkt im Koordinatenursprung.
In der -Ebene und in der -Ebene gibt es unendlich viele Spurpunkte.
Wie werden die Spurpunkte berechnet?
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Die jeweils aufgestellte Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst.
Der für berechnete Wert wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.
Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte
Gegeben ist die Gerade . Bestimme mögliche Spurpunkte von .
Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene
Um den Spurpunkt in der -Ebene zu berechnen, setzt man in der Geradengleichung und berechnet den Parameter :
Setze .
Umformung: -6
Löse nach auf.
Umformung: :3
wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Spurpunkt in der -Ebene zu berechnen:
Setze ein.
Vereinfache.
Der Spurpunkt in der -Ebene hat die Koordinaten .
Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene
Für die Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene setzt man in der Geradengleichung und berechnet den Parameter .
Setze .
Die erhaltene Gleichung ist für kein erfüllbar (falsche Aussage).
Somit gibt es keinen Spurpunkt in der -Ebene.
Die Gerade verläuft parallel zur -Ebene.
Berechnung des letzten Spurpunktes
Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene
Für den Spurpunkt in der -Ebene setzt man in der Geradengleichung und berechnet den Parameter .
Setze .
Umformung: -2
Löse nach auf.
Umformung: :2
wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der -Ebene zu berechnen:
Setze ein.
Vereinfache.
Der Spurpunkt in der -Ebene hat die Koordinaten .
Graphische Veranschaulichung
Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte
Der Spurpunkt in der -Ebene soll berechnet werden. In der -Ebene gilt immer .
1. Man setzt die -Koordinate eines Punktes der Geraden gleich null und berechnet den Wert für den Parameter :
Setze .
Umformung: -a_3
Löse nach auf.
Umformung: :u_3
Achtung: Eine Lösung ergibt sich nur für , andernfalls ist die Gerade parallel zur -Ebene oder die Gerade liegt in der -Ebene.
2. Der berechnete Wert für wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen.
Für die anderen beiden Spurpunkte und geht man analog vor.