Eine komplexe Zahl kann in der Exponentialform dargestellt werden:
Dahinter steckt die eulersche Formel
Wie kommt man auf diese Darstellung?
Nehmen wir eine komplexe Zahl, deren Pfeil mit der Spitze auf dem Einheitskreis liegt. Das heißt, der Betrag der Zahl ist .
Diese Zahl ist dargestellt durch:
Diese Anteile entsprechen den Längen der Katheten in der Skizze rechts.
Diese Katheten können mithilfe des Winkels im Ursprung durch und dargestellt werden.
Somit ist
Zuletzt verwendet man die eulersche Formel
und erhält die Darstellung in Exponentialform.
Geometrische Interpretation
Geometrisch gesehen haben und in der Exponentialform dieselbe Bedeutung wie in der Polarform einer komplexen Zahl:
- entspricht in der Gaußschen Zahlenebene dem Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung.
- ist der von der Strecke mit der -Achse eingeschlossene Winkel.
Beispiel
Die komplexe Zahl kann auch anders dargestellt werden.
Für die Darstellung durch die Exponentialform muss die Strecke und der Winkel berechnet werden:
Zusammengesetzt ist die Exponentialdarstellung
