Um Geld für die beiden Aktionen einzunehmen, bietet die SMV auf dem Schulfest das Spiel "" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung beschriftet sind. Für einen Einsatz von darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer , die auf den erzielten Sektoren steht, werden ausbezahlt. Die Zufallsgröße beschreibt, wie oft die Ziffer auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt.
Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten und . (3 P)
(zur Kontrolle: )
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Man erstellt ein Baumdiagramm mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten für die und den dazugehörenden Auszahlungen.
Überprüfung der Angabe
Beim Glücksrad hat der Pfad zur die Wahrscheinlichkeit. Anschließend wird Glücksrad gedreht. Hier hat der Pfad zur die Wahrscheinlichkeit . Die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten müssen miteinander multipliziert werden.
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann:
Die Wahrscheinlichkeit ist
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Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen beträgt. (4 P)
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Der Einsatz bei dem Spiel beträgt . Damit erhält man folgende Gewinntabelle.
Anzahl 2 | Auszahlung in € | Gewinn in € |
|---|---|---|
Damit ergibt sich die folgende Verteilung für den Gewinn:
Gewinn in € | -3 | -1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
Die Zufallsgröße ist der erzielte Gewinn oder Verlust in € je Spiel für Spieler.
Allgemein gilt:
Eingesetzt erhält man:
Der Spieler macht im Mittel Verlust, d.h. die SMV gewinnt im Mittel .
Gefordert ist ein Gewinn von bei Spielen.
Umformung: \cdot\dfrac{6}{5}
Löse nach auf.
Kürze mit .
Es müssen 360 Spiele durchgeführt werden, damit der Erwartungswert der Einnahme für die Aktionen beträgt.
Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel "".
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens ausbezahlen muss. (4 P)
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Grundwissen:
werden ausgezahlt, wenn die Zwei zweimal getroffen wird.
werden ausgezahlt, wenn die Zwei dreimal getroffen wird.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von oder ist
Es handelt sich hier um eine binomialverteilte Größe mit und .
Alternativ kann auch so gerechnet werden:
Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel "".
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe ergeben. (3 P)
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Die Auszahlungsbeträge sind , , und .
Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlungsbeträge:
Auszahlung in € | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
Die einzige Möglichkeit, mit drei verschiedenen Beträgen die Summe zu erreichen, ist .
Allerdings muss die mögliche Gewinnreihenfolge berücksichtigt werden. Bei Beträgen ist das .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe ergeben, beträgt .