Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei der Pflanzen von Pilzen befallen worden.
Um die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle Pflanzen mit den Sporen des tropischen Pilzes besprüht.
Am Ende des Experiments war die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall dreimal so groß wie die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Insgesamt wurden Pflanzen vom tropischen Pilz befallen.
Aus den Pflanzen wird eine Pflanze zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
: "Die Pflanze wurde mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt."
: "Die Pflanze wurde vom tropischen Pilz befallen."
Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme einer Vierfeldertafel. (4 P)
(zur Kontrolle: )
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Die Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten:
Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?
Gegeben ist die Gesamtzahl der Pflanzen . In der Summenspalte unten rechts steht .
Pflanzen wurden vom tropischen Pilz befallen. In der Summenspalte steht die absolute Häufigkeit in der ersten Zeile.
Die Differenz von und ist . In der mittleren Zeile der Summenspalte steht .
der Pflanzen wurden mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt:
von sind . In der Spalte steht die absolute Häufigkeit ganz unten.
Die Differenz von und ist . Im mittleren Feld der Summenzeile steht .
Die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall steht im Feld . Im Feld rechts daneben steht die Differenz von und .
Die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall ist dreimal so groß wie die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Im Feld steht .
Die Differenz von und steht dann im Feld .
Damit ist die Vierfeldertafel komplett.
Bestimmung von
In der ersten Spalte kann folgende Gleichung aufgestellt werden:
Fasse zusammen und löse nach auf.
Umformung: -131
Umformung: :(-2)
Die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall beträgt .
Berechnen Sie und und begründen Sie, dass aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden kann. (4 P)
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Mit dem berechneten Wert erhält man folgende Vierfeldertafel:
oder rund 1
oder rund
Warum kann aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden?
Die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten und sind ungefähr gleich groß. Bei den unbehandelten Pflanzen ist die Wahrscheinlichkeit, vom tropischen Pilz befallen zu werden (), nur unwesentlich größer als bei den behandelten Pflanzen (). Somit ist bei diesem Pilz die Wirkung des Pflanzenschutzmittels eingeschränkt bzw. das Mittel ist gar nicht wirksam.