Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei der Pflanzen von Pilzen befallen worden.
Bei einem weiteren Versuch mit Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße die Anzahl der
Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden,
dass binomialverteilt ist, mit den Parametern und .
Es werden Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: (6 P)
: "Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."
: "Höchstens Pflanzen werden von Pilzen befallen."
: " oder Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."
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Gegeben sind und :
Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.
"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist gesucht.
"Höchstens Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist gesucht.
Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.
Alternativ können auch die drei Einzelwerte , und addiert werden.
" oder Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. oder Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist gesucht.
Alternative Lösung:
Lies die Werte im Tafelwerk ab.
Bestimmen Sie den kleinsten Wert von, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens beträgt. (4 P)
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bei Pflanzen.
Setze ein.
Fasse zusammen.
Umformung: -0,99+0,95^n
Löse nach auf.
Vereinfache.
Umformung: \ln
Die Exponentialgleichung löst man mithilfe des Logarithmus.
Umformung: :\ln(0,95)
Der ist negativ, deshalb muss das größer- und kleiner-gleich-Zeichen umgedreht werden.
Es ist . Da eine ganze Zahl ist und laut Aufgabenstellung der kleinste Wert von bestimmt werden soll, ist hier .
Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit Pflanzen der Wert der Zufallsgröße um höchstens eine Standardabweichung von Erwartungswert abweicht, die kleinst- und größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 P)
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Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist.
Für die Standardabweichung gilt: .
Mit und folgt:
und
Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann .
Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:
Da eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall .
Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden .
Allgemein gilt für eine Zufallsgröße mit Erwartungswert und Standardabweichung folgende Ungleichung für :
Erläutern Sie die Aussage dieser Ungleichung für . (3 P)
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Für erhält man folgende Aussage:
Diese Aussage hat folgende Bedeutung:
Ist eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswertund der Standardabweichung , dann fallen die Werte von mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens in das Intervall .
Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht, ist mindestens .