Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
Geben Sie eine Gleichung von in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt auf liegt. (3P)
Lösung anzeigen
Stelle zunächst die Kugelgleichung in Koordinatenschreibweise auf und setze dann den Punkt P ein.
Kugelgleichung
Die allgemeine Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt und dem Radius lautet:
Setze die gegebenen Werte in die Kugelgleichung ein:
Die rechte Seite der Gleichung kannst du weiter zusammenfassen:
In Koordinatenschreibweise erhält man dann:
Punktprüfung
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kugelgleichung ein:
Koordinaten des Punktes in die Kugelgleichung einsetzen.
Man hat eine wahre Aussage erhalten. Der Punkt erfüllt die Kugelgleichung, d.h. er liegt auf .
Untersuchen Sie, ob die -Ebene schneidet. (2P)
Lösung anzeigen
Eine Kugel wird dann von einer Ebene geschnitten, wenn der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene kleiner als der Kugelradius ist.
Der Abstand der Kugel zur -Ebene ist die -Koordinate von .
Dieser Abstand muss nun mit dem Kugelradius verglichen werden:
Wegen ist der Abstand zur Ebene größert als der Kugelradius. Daher wird die -Ebene nicht von der Kugel geschnitten.
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Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
