Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge . Geben Sie die Nullstelle von sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von an. (2P)
Lösung anzeigen
Nullstelle
Gegeben ist . Gesucht ist die Nullstelle der -Funktion.
Die -Funktion hat für eine Nullstelle.
Setze .
Umformung: +3
Löse nach auf.
Umformung: :2
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle.
Ableitungsfunktion
Die Funktion ist eine verkettete Funktion. Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
Für die Ableitung der -Funktion gilt: .
Die Ableitung der inneren Funktion
Der Term der ersten Ableitungsfunktion von lautet:
Die in definierte Funktion besitzt die Nullstelle , außerdem gilt für alle . Abbildung zeigt den Graphen von .
Betrachtet wird die Funktion
mit maximaler Definitionsmenge . Geben Sie an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung diejenige Stelle x, für die gilt. (3P)
Lösung anzeigen
Maximale Definitionsmenge
Im Argument der -Funktion dürfen nur positive Werte stehen. Für die Funktion muss demnach gelten, dass ist für alle . Der Graph muss also oberhalb der -Achse verlaufen. Das ist nach Abbildung der Fall für .
Die maximale Definitionsmenge der Funktion ist .
Die Ableitungen der Funktionen und sind an einer Stelle gleich groß
Gesucht ist also die Stelle x, für die gilt.
Berechne zunächst die Ableitung der Funktion . Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Für die Ableitung der -Funktion gilt: .
Die Ableitung der inneren Funktion ist .
Damit ergibt sich die Ableitung zu:
Nun soll sein:
Setze ein.
Umformung: \cdot f(x)
Umformung: :f'(x)
Durch darf geteilt werden, da nach Aufgabenstellung gilt für alle .
Kürze.
Für ist .
Nach Abbildung gehört zu der
-Wert
(folge den Pfeilen)
An der Stelle gilt, dass ist.