Gegeben sind die in definierten Funktionen mit und .
Zeigen Sie, dass gilt. (1P)
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soll nachgewiesen werden:
Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.
Setze in die erste Ableitung ein:
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von im Punkt .
Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die -Achse in einem Punkt schneidet, dessen -Koordinate größer als ist. (4P)
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- Bestimme als erstes die Gleichung der Tangente.
- Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse.
- Bestimme Werte von dadurch, dass die -Koordinate des Schnittpunkts größer als sein soll.
Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt auf.
Berechne dazu zuerst :
Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten .
Allgemeine Tangentengleichung:
Dabei ist die Steigung der Funktion an der Stelle .
In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet:
Damit folgt für die Tangentengleichung:
Die Tangente verläuft durch den Punkt . Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.
Setze den Punkt ein.
Die Tangentengleichung im Punkt lautet:
Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. muss kleiner als null sein.
Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die -Achse in einem Punkt schneidet, dessen -Koordinate größer als ist.
Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse:
Es gilt :
Umformung: -3
Löse nach auf.
Umformung: -a
Umformung: :(-a)
Die x-Achse wird bei geschnitten.
Nun soll dieser Schnittpunkt größer als sein:
Umformung: \cdot(-a)
Da gilt, ist . Das Ungleichkeitszeichen dreht sich nicht um.
Umformung: +a
Fasse zusammen.
Umformung: \cdot 2
Da mit multipliziert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
Für hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die -Achse in einem Punkt geschnitten, dessen -Koordinate größer als ist.