Der Graph der in definierten ganzrationalen Funktion besitzt nur an der Stelle eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung ).
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit .
Geben Sie mithilfe von Abbildung die Funktionswerte und an. (2P)
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Der Funktionswert kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für erhält man .
(Folge den schwarzen Pfeilen.)
Gesucht ist .
Es gilt:
wurde schon abgelesen:
Der Funktionswert kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für erhält man .
Damit ist .
(Folge den Pfeilen.)
Die Funktionswerte und lauten: und .
Gemäß der Kettenregel gilt . Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung alle Stellen, an denen der Graph von eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)
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Bei einer waagrechten Tangente muss die erste Ableitung den Wert null haben.
Also:
Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren null ist.
Also oder .
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass ist (waagrechte Tangente).
Jetzt ist .
Da ist, muss den Wert haben.
Gesucht sind jetzt die Stellen, an denen ist.
Betrachte die nebenstehende Abbildung, dann findet man zwei Stellen, an denen ist. Einmal die Stelle (in Aufgabe a) schon ermittelt) und die Stelle .
und
(Folge den Pfeilen.)
Der Graph von besitzt waagrechte Tangenten für , und .