Aus drei Punkten , und , die nicht auf einer Geraden liegen, kann ein Dreieck im Raum gebildet werden.
Die drei Punkte liegen in einer Ebene .
Wann liegt ein beliebiger Punkt im Dreieck?
Der Punkt liegt dann im Dreieck, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:
Vorgehensweise
Von einem Dreieck sind die Punkte , und gegeben und ein weiterer Punkt . Erstelle mit den Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
- Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter und . Dann ist die Bedingung ist erfüllt, der Punkt liegt in der Ebene .
- Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen und Dann liegt der Punkt im Dreieck.
- Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen oder ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch , und , aber nicht im Dreieck.
- Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt nicht in der Ebene und auch nicht im Dreieck.
Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck
Gegeben sind die Punkte , und und der Punkt . Liegt der Punkt in dem Dreieck ?
Erstelle mit den Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte und erhalten.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung ist erfüllt. Der Punkt liegt in der Ebene . Die beiden Parameter müssen die Bedingungen und erfüllen, damit der Punkt im Dreieck liegt.
Die Bedingung ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich und kleiner gleich .
Die Bedingung ist auch erfüllt.
Ergebnis: Der Punkt liegt im Dreieck.
Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck
Gegeben sind die Punkte , und und der Punkt . Liegt der Punkt in dem Dreieck ?
Erstelle mit diesen Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte und erhalten.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung ist erfüllt. Der Punkt liegt in der Ebene . Die beiden Parameter müssen die Bedingungen und erfüllen, damit der Punkt im Dreieck liegt.
Die Bedingung ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich und kleiner gleich .
Die Bedingung ist nicht erfüllt.
und somit ist .
Ergebnis: Der Punkt liegt zwar in der Ebene , in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.