Die vier Punkte , , , und bilden im Raum ein Parallelogramm.
Die vier Punkte liegen dann in einer Ebene .
Wann liegt ein beliebiger Punkt im Parallelogramm?
Der Punkt liegt dann im Parallelogramm, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
und
Vorgehensweise
Gegeben sind vier Punkte , , und , die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt ist gegeben. Liegt der Punkt im Parallelogramm ?
Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
- Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter und . Dann ist die Bedingung ist erfüllt, der Punkt liegt in der Ebene .
- Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung Dann liegt der Punkt im Parallelogramm.
- Fall 1 b): Die Bedingung ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.
- Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt nicht in der Ebene und auch nicht im Parallelogramm.
Beispiel der Punkt liegt im Parallelogramm
Gegeben sind die Punkte , , , und der Punkt . Liegt der Punkt im Parallelogramm ?
Erstelle mit Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte und erhalten, d.h. Bedingung ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich , d.h. Bedingung ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt liegt im Parallelogramm.
Beispiel der Punkt liegt nicht im Parallelogramm
Gegeben sind die Punkte , , und der Punkt . Liegt der Punkt im Parallelogramm ?
Erstelle mit Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B.
Aus Gleichung folgt:
Probe in Gleichung
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte und erhalten, d.h. Bedingung ist erfüllt. Aber der Parameterwert ist größer als , d.h. er liegt nicht zwischen und . Die Bedingung ist nicht erfüllt.
Ergebnis: Der Punkt liegt zwar in der Ebene , in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.