Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas . Die Grundfläche dieses Prismas ist das gleichseitige Dreieck mit der Höhe . ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt: cm; cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie, dass für die Strecke gilt: cm. Zeichnen Sie sodann das Schrägbild des Prismas , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung gilt: . (3 P)
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Die Grundfläche des Prismas ist das gleichseitige Dreieck , mit der Höhe
Der Winkel .
Es ist . Dann gilt:
Schrägbild des Prismas
Für die Zeichnung gilt: .
Der Punkt liegt auf der Strecke mit cm. Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zu 2a) ein und zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel gilt: . (2 P)
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Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zu 2a) ein
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel gilt: .
Im gleichseitigen Dreieck gilt für die Höhe :
Im Dreieck gilt dann für den Winkel :
.
Punkte auf der Strecke sind zusammen mit Punkten und die Eckpunkte von Dreiecken . Die Winkel haben das Maß mit .
Zeichnen Sie die Strecke und das Dreieck für in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)
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Zeichnen Sie die Strecke und das Dreieck für in das Schrägbild zu 2a) ein
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt der Dreiecke gilt: . (4 P)
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Länge der Strecken in Abhängigkeit von
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Prisma.
Der Winkel und der Winkel
sind Wechselwinkel, d.h. .
Verwende den Sinussatz:
Es ist
Setze und in den Sinussatz ein und löse nach auf.
Dabei ist
Es folgt dann:
Für den Flächeninhalt der Dreiecke gilt:
Nach Aufgabe c) (B 2.3) haben die Winkel das Maß , mit .
Demnach gilt .
Für die Strecke folgt dann wegen :
Die Dreiecksfläche berechnet man mit .
Mit und erhält man dann:
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit der Grundfläche und den Höhen , deren Fußpunkte auf der Strecke liegen.
Zeichnen Sie die Pyramide und ihre Höhe in das Schrägbild zu 2a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von . (3 P)
[Ergebnis: ]
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Zeichnen Sie die Pyramide und ihre Höhe in das Schrägbild zu 2a) ein
Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von
Dabei ist die Grundseite ein Rechteck mit den Seitenlängen und
Die Höhe wird mit dem Sinus berechnet. Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Dabei ist aus d) (B2.4) bekannt: .
Es folgt dann:
Eingesetzt in die Volumenformel erhält man das Volumen in Abhängigkeit von :
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen des Prismas . (3 P)
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Volumen des Prismas
Die Grundseite des Prismas ist das gleichseitige Dreieck , mit der Seitenlänge und mit der Höhe . Die Höhe des Prisma ist .
In Aufgabe a) (B2.1) wurde gezeigt, dass ist.
Für den Flächeninhalt der Dreiecksgrundseite gilt .
Dann ergibt sich:
Für das Volumen folgt dann:
Nach Aufgabe e) (B 2.5) gilt für das Volumen der Pyramide mit :
Der prozentuale Anteil beträgt dann: