Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung , ()
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Wertemenge von an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;
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Gegeben ist:
Es ist .
Wertemenge von
Graph von
Der Graph der Funktion wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor
auf den Graphen der Funktion abgebildet. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion gilt: , (x ).
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)
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Für die orthogonale Affinität gilt in Matrixform:
Es ist und .
Setze und ein.
Führe die Matrixmultiplikation durch.
Es ist .
Dann folgt mit :
Es ist dann
Die können nun weggelassen werden.
Für die Gleichung der Funktion gilt dann: , ().
Einzeichnen des Graphens von
Punkte liegen auf dem Graphen zu . Punkte haben eine um größere x-Koordinate als die Punkte . Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion und ihre x-Koordinate ist um größer als die Abszisse der Punkte . Die Punkte , und sind die Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie das Dreieck für und das Dreieck für in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)
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Dreieck
Es ist , . Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion und ihre x-Koordinate ist um größer als die Abszisse der Punkte .
Berechne die y-Koordinate von :
Setze ein.
Fasse zusammen.
Wende ein Potenzgesetz an.
Berechne den Bruch.
Fasse zusammen.
Also ist
.
Berechne die y-Koordinate von :
Die x-Koordinate der Punkte ist um größer als die Abszisse der Punkte .
Mit ist die x-Koordinate der Punkte gleich .
Setze ein.
Fasse zusammen.
Wende ein Potenzgesetz an.
Berechne den Bruch.
Fasse zusammen.
Also ist
Dreieck
Es ist . Berechne die y-Koordinate von :
Setze ein.
Fasse zusammen.
Berechne die Potenz.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Also ist .
.
Berechne die y-Koordinate von :
Die x-Koordinate der Punkte ist um größer als die Abszisse der Punkte .
Mit ist die x-Koordinate der Punkte gleich .
Es ist . Berechne die y-Koordinate von :
Setze ein.
Fasse zusammen.
Berechne die Potenz.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Also ist .
Die Punkte , , und , , werden in das Koordinatensystem eingezeichnet. Verbindet man die entsprechenden Punkte, erhält man die Dreiecke und .
Zeigen Sie, dass für die Vektoren und in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: ; . (3 P)
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Es ist und .
Es ist und .
Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt der Dreiecke stets größer als 7 FE ist. (3 P)
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Die Dreiecksfläche wird mit der Determinante berechnet:
Berechne die Determinante:
Löse die inneren Klammern auf.
Fasse in der Klammer zusammen.
Löse die Klammer auf
Damit ist immer größer .
Im Dreieck liegt die Strecke parallel zur x-Achse. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes sowie das Maß des Winkels . (4 P)
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Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes
Wenn die Strecke parallel zur x-Achse sein soll, dann muss sein. Dabei ist und .
Setze die Werte ein.
Umformung: +2
Löse nach auf.
Umformung: :0,2
Umformung: \log_2
Wende den Logarithmus zur Basis 2 an.
Umformung: +1
Die -Koordinate des Punktes ist .
Das Maß des Winkels
Aus Aufgabe d) (B 1.4) gilt für den Vektor .
Hier wird nun eingesetzt:
Setze ein.
Berechne die -Koodinate.
Der gesuchte Winkel ist der Winkel zwischen der Strecke und der -Achse.
Steigungswinkel:
Es ist . Mit folgt dann .
Weiterhin ist . Mit folgt dann .
Setze die entsprechenden Koordinaten ein.