Aufgabe B2
Die Diagonalen und des Drachenvierecks schneiden sich im Punkt . Das Drachenviereck ist die Grundfläche der Pyramide mit der Spitze und der Höhe .
Es gilt: cm; cm; cm; cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: und .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels . [Ergebnis: ] (3 P)
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- Skizze erstellen und Maße eintragen
- und zeichnen. Beachte den Winkel von für und für die Länge gilt:
Als Nächstes zeichnest Du die Strecke mit senkrecht über dem Punkt ein.
Jetzt noch alle Punkte verbinden und Du hast den 1. Teil fast geschafft.
Für die Berechnung des Winkels nimmst du den Tangens: siehe hier
Punkte liegen auf der Strecke Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte sind zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie die Strecke sowie das Dreieck für in das Schrägbild zu 2a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: cm. (3 P)
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Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Das Dreieck ist gleichseitig.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für . (3 P)
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Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck gilt:
Aus b) (B 2.2) gilt:
mit
Setze :
Umformung: \cdot \sin(\varphi+35,84^\circ)
Löse nach auf.
Umformung: : (5\cdot\sqrt{3})
Berechne den Winkel mit der Umkehrfunktion:
Umformung: -35,84^\circ
Die Pyramiden haben die Grundfläche und die Spitzen . Die Höhenfußpunkte der Pyramiden liegen auf der Strecke .
Zeichnen Sie die Höhe in das Schrägbild zu ein.
Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von .
[Zwischenergebnis: ] cm (3 P)
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Einzeichnen der Höhe in das Schrägbild
![Höhe [F1P1] im Schrägbild](https://assets.serlo.org/acb149e0-40f1-11ee-b109-a3f2e53ad6dd/image.svg)
Die Pyramiden haben die Grundfläche (grün) und die Spitzen .
Zur Veranschaulichung wird die eingezeichnete Pyramide farblich gekennzeichnet.
Berechnung des Volumens der Pyramiden in Abhängigkeit von
Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit:
, dabei ist und die Pyramidenhöhe .
Also ist .
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe b) (B 2.2) folgt dann:
Damit kann dann das Pyramidenvolumen berechnet werden.
Setze , und ein.
Fasse zusammen.
Das Pyramidenvolumen ist:
.
Die Pyramiden und haben das gleiche Volumen.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für . (3 P)
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Die Pyramiden und haben das gleiche Volumen.
.
Die Grundfläche ist das Dreieck .
Die Höhe der Pyramide ist .
Entsprechend wird das Volumen der Pyramide berechnet.
Die Grundfläche ist das Dreieck .
Die Höhe der Pyramide ist .
Setze , um zu berechnen:
Vereinfache.
Umformung: :45
Die Höhe der Pyramide muss betragen, damit die Pyramiden das gleiche Volumen haben.
Setze (für siehe Aufgabe d) (B 2.4))
Es ist .
Umformung: \cdot \sin(\varphi+35,84^\circ)
Bringe den Nenner auf die andere Seite.
Verwende das Additionstheorem für den Sinus.
Ersetze durch
Klammere aus.
Umformung: :\sin\varphi
Wegen ist .
Umformung: :4,5
Umformung: -\cos 35,84^\circ
Bilde den Kehrwert.
Umformung: \cdot \sin35,84^\circ
Löse nach auf.
Vereinfache.
Den Winkel berechnet man mit der Umkehrfunktion: