Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung ().
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen zu an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit ; ;
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Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist .
Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion gilt:
.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)
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Spiegelung an der -Achse:
Mit dem Vektor verschieben:
Gleichung umformen:
in Gleichung einsetzen:
Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse . Sie sind für zusammen mit Punkten und Eckpunkte von Parallelogrammen . Die Punkte liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse der Punkte .
Zeichnen Sie das Parallelogramm für und das Parallelogramm für in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)
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Berechnung der Punkte:
Für ist die Abszisse um größer
Für ist die Abszisse um größer
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt der Parallelogramme in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: (3 P)
.
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Einsetzen der Punkte und in die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms
Logarithmusumformung!
Da das Parallelogramm eine Höhe von hat, muss der Term noch mit multipliziert werden.
Im Parallelogramm liegt der Punkt auf der -Achse.
Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms . (3 P)
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Da auf der x-Achse liegt, muss gelten: . Damit ergibt sich der x-Wert des Punktes von .
Umformung: +4
Umformung: :3
Umformung: -7
Berechnung des Flächeninhaltes :
Setze in ein.
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes . (4 P)
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Setze .
Umformung: +24
Löse nach auf.
Umformung: :12
Umformung: 3^{()}
Kürze .
Umformung: -3^{\frac{10}{3}}
Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze ; und ein.
Berechne die Wurzel.
Es ist und
Da vorgeben ist, entfällt
Der x-Wert für den Punkt ist um höher.
Einsetzen in
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
