Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche mit und , acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat mit und . Der Mittelpunkt des Quadrats ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der -Ebene als auch bezüglich der -Ebene.
Zeigen Sie, dass das Dreieck bei rechtwinklig ist. (2P)
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Es liegt ein rechter Winkel vor, wenn ist.
Man berechnet die Vektoren und
Somit sind die Vektoren und orthogonal und das Dreieck bei rechtwinklig.
Das Dreieck liegt in der Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von im Koordinatensystem. (4P)
(zur Kontrolle: )
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Die Ebene ist durch die Punkte und bestimmt.
Die Punkt-Richtungs-Gleichung der Ebene lautet:
Bestimmung eines Normalenvektors
Man berechnet das Vektorprodukt der beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren.
Oder:
Damit hat man:
Und die Koordinatengleichung der Ebene lautet:
Die Hessesche Normalenform der Ebene lautet dann
.
Die Ebene enthält die zur Achse parallele Gerade durch die Punkte und und hat vom Ursprung des Koordinatensystems den Abstand
Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenfläche und die Grundfläche einschließen. (3P)
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Die Größe des Winkels zwischen der Seitenfläche und der Grundfläche berechnet man als Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene und der Ebene.
Der Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene.
Der Vektor ist Normalenvektor von
Auf der Strecke gibt es einen Punkt für den gilt.
Bestimmen Sie die Koordinaten von . (4P)
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Die Größe des Winkels zwischen der Seitenfläche und der Grundfläche berechnet man als Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene und der Ebene.
Der Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene.
Der Vektor ist Normalenvektor von
ist der Mittelpunkt der Strecke . Begründen Sie, dass die Gerade den Innenwinkel des Dreiecks bei halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass auf der Gerade liegt. (4P)
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Betrachte zuerst das Dreieck . Der Punkt ist laut Aufgabe der Mittelpunkt der Strecke Da das Dreieck gleichschenklig ist, denn aus d) , ist die Strecke Mittelsenkrechte und damit Winkelhalbierende im Dreieck
Weil der Schenkel auf dem Schenkel liegt, ist auch Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks bei
Geradengleichung der Geraden durch die Punkte und .
.
Wählt man für , so gilt
Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede kongruent zu genau einer der drei Pyramiden , bzw. ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide hat das Volumen und die Pyramide hat das Volumen . Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers. (4P)
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Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede zu genau einer der drei beschriebenen Pyramiden kongruent is
Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede zu genau einer der drei beschriebenen Pyramiden kongruent ist.
Da der Körper laut Beschreibung bzgl. der Achse symmetrisch ist, sind die Dreiecke und kongruent.
Wegen der Symmetrie bzgl. der Achse sind die Dreiecke und kongruent.
Man zeigt leicht, dass gilt:
Es gilt: , wegen Quadrat
Damit gilt:
Da alle diese Pyramiden gleiche Grundflächen und Spitze haben, sind sie kongruent.
Da die (übrigen) Seitenflächen auch Dreiecke sind und die neunte Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, sind die restlichen Pyramiden auch kongruent.
Damit gibt es Pyramiden vom Typ und Pyramiden .
Die Pyramide hat ein Quadrat vom Flächeninhalt zur Grundfläche. Die Höhe dieser Pyramide ist .
Somit ist das Volumen
Das Gesamtvolumen des Körpers ist dann
Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel. (4P)
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Der Kugelmittelpunkt muss von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben.
Da laut Aufgabe der Punkt der Mittelpunkt des Quadrates ist, hat er von den Eckpunkten und den gleichen Abstand . Da der Ursprung ist, hat der Ursprung den gleichen Abstand
Und alle Punkte auf der Achse haben von den Punkten und den gleichen Abstand. Somit kommen alle Punkte auf der Achse als Kugelmittelpunkt in Frage.
Es muss insbesondere gelten:
Also