Die Punkte , , und liegen in der Ebene und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze . , und liegen in der Ebene .
Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem. (4P)
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Gegeben sind die Punkte und , sowie .
Das Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleiche Länge haben.
Dreieck ist gleichschenklig.
Die Grundfläche der beschriebenen Pyramide ist quadratisch. Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes .
Der Ortsvektor des Punktes sei
Der Ortsvektor des Punktes sei
Der Ortsvektor des Punktes sei:
Der Punkt hat dann den Ortsvektor
Die Seitenlängen
Es gilt:
Die Ebene ist durch die Punkte und bestimmt.
Die dritte Koordinate dieser Punkte ist . Somit ist die Ebene parallel zur -Ebene und hat vom Ursprung den Abstand .
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform. (3P)
(zur Kontrolle: )
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Bestimmung der Gleichung der Ebene durch die Punkte und
Das Skalarprodukt aus gesuchtem Normalenvektor mit den Richtungsvektoren muss jeweils gleich null sein.
Da die dritte Komponente des 1. Richtungsvektors gleich null ist und die beiden ersten Komponenten verschiedene Vorzeichen und betragsmäßig gleich groß sind, kann man die beiden ersten Komponenten des Normalenvektors gleich setzen.
Setzt man die dritte Komponente des Normalenvektors gleich , so ergibt das Skalarprodukt des gesuchten Normalenvektors mit dem 2. Richtungsvektor den Wert null.
Bei solch einfachen Richtungsvektoren kann man sich die Berechnung des Vektorproduktes sparen.
Also:
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide . (2P)
(zur Kontrolle .)
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Man kann zur Berechnung des Volumens auch das Spatprodukt bemühen.
Dazu muss man berechnen: .
Hier muss man Rechenarbeit leisten.
Aus dem Aufgabenteil a) und b) leitet man aber ab, dass für die Grundfläche gilt
Die Höhe der Pyramide ist leicht zu ermitteln. Die Grundfläche liegt in einer Ebene, die parallel zur Ebene ist und vom Ursprung den Abstand hat.
Die Spitze hat den Abstand
Somit gilt für die Höhe
Für das Volumen einer Pyramide gilt
Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt und Radius . Die -Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau. (4P)
(zur Kontrolle: )
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Die Marmorkugel liegt so in der Pyramide, dass sie die Seitenwände berührt. Somit muss der Radius der Kugel senkrecht zu jeder Seitenwand sein. Der Abstand des Mittelpunktes von der Seitenwand ist gleich dem Radius . Da die Pyramide symmetrisch ist, ist der Abstand des Mittelpunktes von jeder Seitenwand gleich.
Zur Abstandsberechnung des Punktes von der Ebene verwendet man die Hessesche Normalenform:
Der Kugelradius ist somit .
Der gesuchte Durchmesser ist dann:
Weisen Sie nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. cm über dem Erdboden liegt. (2P)
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Der höchste Punkt des Brunnens ist der Durchstoßpunkt der Geraden durch die Punkte und durch die Kugel. Der Punkt liegt um über dem Punkt . Also liegt in über dem Erdboden.
Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte mit geeigneten Werten beschrieben.
Der Punkt liegt innerhalb des Dreiecks und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie die Koordinaten von . (4P)
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Es gilt:
Die Bewegung des Wassers der Fontäne beschreibt man somit mittels der Funktion
Bestimmung des Auftreffpunktes der Fontäne mit der Ebene
Da
Den Wert setzt man in ein und erhält:
Liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks ?
, wobei
.
Diese Werte für und erfüllen die Bedingungen. Somit liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks
Untersuchen Sie, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens. (2P)
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Um den höchsten Punkt der Wasserfontäne zu bestimmen, muss man nur die Werte der dritten Komponente von untersuchen:
Man sucht den Maximalwert von
in
Somit liegt der höchste Punkt der Wasserfontäne tiefer als der höchste Punkt des Brunnens
Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt ml Wasser in die Bronzeschale. Bestimmen Sie die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist. (4P)
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Das Volumen V der Pyramide ist laut Teilaufgabe c gerade
Die Marmorkugel hat den Mittelpunkt . Weil die Bodenebene der Pyramide vom Ursprung den Abstand hat, liegt nur eine Halbkugel der Marmorkugel in der Bronzeschale.
Das Volumen einer Kugel ist
Damit hat die Bronzeschale ein Fassungsvermögen von
Wenn pro Sekunde Wasser in die Schale fließen, so dauert es bis die Bronzeschale gefüllt ist.
Damit ist die Schale nach gefüllt.