Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
Die Zufallsgröße hat den Erwartungswert . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten und und berechnen Sie die Varianz von . (3P)
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Für den Erwartungswert gilt:
Laut Aufgabenstellung gilt
Also hat man:
Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller unvereinbarer Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum immer gleich ist, gilt:
Für die Varianz gilt:
Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von Losen sichtbar werden. Es gilt und . Bestimmen Sie den Wert von , für den die relative Standardabweichung % beträgt. (2P)
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Für die Standardabweichung gilt: .
Für die relative Standardabweichung gilt dann: