Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.
Bestimmen Sie für den Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben. (2P)
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Der Automat druckt Anstecker mit 5 verschiedenen Motiven.
Bei jedem Knopfdruck wird eines der verschiedenen Motiven ausgedruckt.
Wenn dreimal der Knopf betätigt wird, gibt es also insgesamt Möglichkeiten.
Hinweis: Vergleiche dieses Experiment mit dem maligen Werfen eines Laplace-Würfels. Hier gilt .
Ereignis Nicht alle drei Anstecker dürfen das gleiche Motiv haben. Dies ist gleichwertig mit 'Nicht' alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.
Gegenereignis : Alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.
Dafür gibt es Möglichkeiten.
Somit gilt
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert
hat. (2P)
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Der Knopf wird mal betätigt.
Der Automat wählt aus verschiedenen Motiven genau eines aus.
Für die Ergebnismenge gilt: .
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
: 'drei verschiedene Elemente befinden sich auf den drei Ansteckern' gefragt.
Für den ersten Ausdruck gibt es Möglichkeiten.
Für den zweiten Ausdruck gibt es Möglichkeiten
Für den dritten Ausdruck gibt es Möglichkeiten.
Also gilt für das Ereignis
Somit
Bestimmen Sie, wie groß mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als % ist. (3P)
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In Aufgabenteil ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
: 'es befinden sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern' begründet worden:
Nun soll ein Wert für die Anzahl bestimmt werden, sodass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis größer als ist.
Also
Für welche natürliche Zahl wird ?
Probe: