Der Freizeitpark veranstaltet ein Glücksspiel, bei dem Eintrittskarten für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen (siehe schematische Abbildung unten). Wird Sektor erzielt, gewinnt man eine Kinderkarte im Wert von Euro, bei Sektor eine Erwachsenenkarte im Wert von Euro. Bei Sektor geht man leer aus. Der Mittelpunktswinkel des Sektors N beträgt 160°. Die Größen der Sektoren und sind so gewählt, dass pro Spiel der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt. Bestimmen Sie die Größe der Mittelpunktswinkel der Sektoren und . (6P)
Lösung anzeigen
Das Experiment ist ein zweistufiges Zufallsexperiment
Stufe: Werfen eines Laplace-Würfels und Beachten ob Augenzahl oder
= mit
Stufe: Drehen einer Drehscheibe und Beachten der Sektoren odee
mit ;
Es gilt:
Da die Ereignisse und unvereinbar sind, gilt .
Somit folgt aus , dass ist.
Wählt man und , so ist .
Bestimmung der Mittelpunktswinkel
Zur Bestimmung der Mittelpunktswinkel muss man die Wahrscheinlichkeiten und ermitteln.
Das Zufallsexperiment 'Drehen einer Drehscheibe' wird nur durchgeführt, wenn das Ergebnis des Zufallsexperimentes 'Werfen eines Laplace-Würfels' Augenzahl
Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:
Falls die Ereignisse und unabhängig sind, gilt
Da die Ereignisse beim 'Werfen eines Laplace-Würfels' und die Ereignisse beim 'Drehen der Drehscheibe' unabhängig sind, gilt hier:
Damit hat man:
Für den Gewinn
Für den Gewinn
Für den Gewinn
Für den Erwartungswert gilt
Damit ist
Damit ist der Mittelpunktswinkel beim Ereignis gerade , beim Ereignis genau und beim Ereignis ist der Mittelpunktswinkel .