Gegeben ist die in definierte Funktion . Die Abbildung zeigt den Graphen von f.
Zeigen Sie, dass genau zwei Nullstellen besitzt. (2P)
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Der Funktionsterm der vorgelegten Funktion ist ein Produkt aus den beiden Faktoren und . Nur der erste Faktor kann den Wert annehmen.
Also :
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von . (4P)
(zur Kontrolle: )
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Nach der Produktregel ist
Die Nullstellen werden jetzt durch quadratische Ergänzung bestimmt:
Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral . (4P)
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Das Integral soll aus dem Graphen in 1a näherungsweise bestimmt werden.
Die in definierte Funktion ist diejenige Stammfunktion von , deren Graph durch den Punkt verläuft.
Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von im Punkt einen Tiefpunkt besitzt. (2P)
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Für jede Stammfunktion von gilt: .
Da die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach hat, fällt die Funktion für und wächst für Somit hat an der Stelle einen Tiefpunkt.
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von . Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass und gilt. (3P)
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Der Graph von hat in wegen 1d einen Tiefpunkt. Analog folgert man, dass in einen Hochpunkt hat. Das Grenzverhalten von ist angegeben. Somit schmiegt sich der Graph von an die Asymptote an.
Deuten Sie die Aussage in Bezug auf geometrisch. (2P)
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Wenn , so ist die Fläche unter dem Graph von und der -Achse im Intervall etwa gleich groß zur Fläche zwischen der Achse und dem unterhalb der Achse gelegenen Graph von im Intervall .
Betrachtet wird nun die Schar der in definierten Funktionen
mit . Der Graph von wird mit bezeichnet. Für ergibt sich die bisher betrachtete Funktion .
Geben Sie in Abhängigkeit von die Anzahl der Nullstellen von an. (2P)
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Die Nullstellen der Funktionenschar werden von dem Faktor bestimmt.
Somit gibt es zwei Nullstellen, falls ist,
und es gibt keine Nullstelle, falls ist.
Für einen bestimmten Wert von besitzt zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, die voneinander den Abstand haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3P)
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Die Nullstellen lauten: und
Der Abstand der Nullstellen ist: .
Da der Abstand der Nullstellen genau sein soll, muss gelten:
.
Also ist da sein muss.
Beurteilen Sie, ob es einen Wert von gibt, sodass und bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2P)
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Es gibt kein , sodass und symmetrisch bezüglich der Achse liegen.
Denn dann müsste insbesondere auch gelten:
Es gilt aber :
und